Question

A empresa SHINE vai precisar de um montante de R$ 875.000,00 para que possa ser investido em novos profissionais e produtos. Você e sua equipe foram contratados para ajudá-los a conseguir esse capital. Para isso, foi realizada uma pesquisa em algumas instituições financeiras para saber a taxa de juros cobrada na realização de um financiamento, conforme a tabela: Banco A Banco B Banco C Taxa de juros 1,9% ao ano 2,5 % ao ano 3,2% ao ano Período do financiamento 192 meses 144 meses 204 meses As instituições financeiras oferecem modalidades de crédito que podem atender a financiamentos, sendo que as taxas de juros podem variar de acordo com o prazo que for efetuada a contratação da operação. Assim, de acordo com as taxas da tabela acima, você deve analisar cada uma das opções apresentadas, Banco A, B e C, com o intuito de apresentar aos gestores a que considera mais vantajosa para a empresa

Answer 1

A tarefa está incompleta, pois faltaram as questões que norteiam o desenvolvimento. Adiciono-as a seguir:

Vocês devem determinar:

a) O valor da prestação de cada uma das opções.

b) O valor futuro (montante) de cada uma das opções.

_________________________

Essa questão trata de uma série ou sequência uniforme postecipada, como é padrão de financiamentos em bancos - que não costumam ter entradas (e o enunciado também não denotou a existência dessas).

Para a aplicação das fórmulas que demonstrarei no decorrer do desenvolvimento, devemos ter a taxa de juros efetiva - ou seja, devemos ter a taxa de juros em unidades de tempo iguais a do período de capitalização que vamos usar, que será mensal. A taxa de juros em tempos diferentes recebe o nome de taxa nominal.

Para a resolução dessa questão, o primeiro passo é a conversão das taxas nominais anuais para taxas efetivas com capitalizações mensais. Para fazer a conversão, taxas nominais anuais para taxas efetivas mensais, podemos usar a seguinte relação:

$i=\dfrac{i_n}{12}$

Onde:

i: refere-se a taxas efetivas, que vamos descobrir para cada caso;

iₙ: refere-se a taxas nominais, que nos foram dadas.

Convertendo todas as taxas, teremos:

$\left[\begin{array}{l} i=\dfrac{i_n}{12}\\\\ i_A=\dfrac{0,019}{12}=0,00158333...\\\\i_B=\dfrac{0,025}{12}=0,00208333...\\\\ i_C=\dfrac{0,032}{12}=0,002666...\end{array}\right.$

As letras que estão do lado i representam, respectivamente, os bancos A, B e C. Tendo as taxas nominais, podemos descobrir as parcelas e os valores futuros, itens das questões A, B e consequentemente das demais.

Questão A

Para descobrir o valor das parcelas de uma série uniforme podemos usar a seguinte fórmula:

$PMT=C\cdot\dfrac{(1+i)^n\cdot i}{(1+i)^n-1}$

Onde:

PMT: valor das parcelas, que é o que queremos descobrir;

C: capital inicial, 875.000;

i: taxas de juros, que são iguais as que foram descobertas acima. Durante o cálculo usarei as dízimas.

n: tempo de aplicação, que será 192, 144 e 204 meses, respectivamente, para os bancos A, B e C.

Para a aplicação dos cálculos, podemos utilizar do auxílio de uma calculadora. Sublinharei as respostas. Teremos:

$PMT_A=875.000\cdot\dfrac{(1+0,00158333...)^{192}\cdot0,00158333...}{(1+0,00158333...)^{192}-1}\\\\\\PMT_A=875.000\cdot\dfrac{(1,00158333...)^{192}\cdot0,00158333...}{(1,00158333...)^{192}-1}\\\\\\ PMT_A=875.000\cdot\dfrac{1,3549432710...\cdot0,00158333...}{1,3549432710...-1}\\\\\\ PMT_A=875.000\cdot\dfrac{0,0021453268...}{0,3549432710...}\\\\\\ PMT_A=875.000\cdot0,0060441401...\\\\\\ PMT_A=5.288,6225580786\approxeq\underline{5.288,62}$

$PMT_B=875.000\cdot\dfrac{(1+0,00208333...)^{144}\cdot0,00208333...}{(1+0,00208333...)^{144}-1}\\\\\\PMT_B=875.000\cdot\dfrac{(1,00208333...)^{144}\cdot0,00208333...}{(1,00208333...)^{144}-1}\\\\\\PMT_B=875.000\cdot\dfrac{1,3494376274...\cdot0,00208333...}{1,3494376274...-1}\\\\\\PMT_B=875.000\cdot\dfrac{0,0028113284...}{0,3494376274...}\\\\\\ PMT_B=875.000\cdot0,0080452938...\\\\\\ PMT_B=7.039,6321083357\approxeq\underline{7.039,63}$

$PMT_C=875.000\cdot\dfrac{(1+0,002666...)^{204}\cdot0,002666...}{(1+0,002666...)^{204}-1}\\\\\\ PMT_C=875.000\cdot\dfrac{(1,002666...)^{204}\cdot0,002666...}{(1,002666...)^{204}-1}\\\\\\ PMT_C=875.000\cdot\dfrac{1,7216376390...\cdot0,002666...}{1,7216376390...-1}\\\\\\ PMT_C=875.000\cdot\dfrac{0,0045910337...}{0,7216376390...}\\\\\\PMT_C=875.000\cdot0,0063619654...\\\\\\PMT_C=5.566,7197409776...\approxeq\underline{5.566,72}$

Questão B

Para o cálculo do valor futuro (FV), podemos usar a seguinte fórmula:

$FV=PMT\cdot\dfrac{(1+i)^n-1}{i}$

Usarei apenas duas casas decimais nas parcelas. Para economizar a quantidade de caracteres, irei simplificar um poucos os cálculos.

$FV_A=5.288,62\cdot\dfrac{(1+0,00158333...)^{192}-1}{0,00158333...}\\\\\\FV_A=5.288,62\cdot\dfrac{0,3549432710...}{0,00158333...}\\\\\\FV_A=5.288,62\cdot224,1746975032...\\\\\\FV_A=5.288,62\cdot224,1746975032...\\\\\\FV_A=1.185.574,7887094200\approxeq\underline{1.185.574,79}$

$FV_B=7.039,63\cdot\dfrac{(1+0,00208333...)^{144}-1}{0,00208333...}\\\\\\ FV_B=7.039,63\cdot\dfrac{0,3494376274...}{0,00208333...}\\\\\\ FV_B=7.039,63\cdot167,7300611436...\\\\\\ FV_B=1180757,5703284400...\approxeq\underline{1.180.757,57}$

$FV_C=5.566,72\cdot\dfrac{(1+0,002666...)^{204}-1}{0,002666...}\\\\\\ FV_C=5.566,72\cdot\dfrac{0,7216376390...}{0,002666...}\\\\\\ FV_C=5.566,72\cdot270,6141146420...\\\\\\ FV_C=1.506.433,0042597000\approxeq\underline{1.506.433,00}$

Para melhor exibir esses dados, adicionei uma tabela em anexo.

Apesar de ser possível discorrer mais sobre esse enunciado, não consigo adicionar mais do que isso, pois o campo de respostas é limitado a 5.000 caracteres.