Question

a e b são equidistantes de q pertencente a bissetriz dos quadrantes ímpares. sendo a (4,2) e b (6,8), quais são as coordenadas de q 

Answer 1

Se o q pertence à bissetriz dos quadrantes ímpares, quer dizer que as coordenadas tem que ser iguais. Ou seja, podemos escrever como q(x;x)

 

Então agora vamos passar para a fórmula, que a distância do ponto a até o q, é igual a distância do ponto b até o q

 

$<var>d = \sqrt{(X_{f}-X_{I})^{2}+(Y_{f}-Y{i})^{2}}</var>$

 

$<var>\sqrt{(X_{f}-X_{I})^{2}+(Y_{f}-Y{i})^{2}} = \sqrt{(X_{f}-X_{I})^{2}+(Y_{f}-Y{i})^{2}}</var>$

 

$<var>\sqrt{(X-4)^{2}+(X-2)^{2}} = \sqrt{(X-6)^{2}+(X-8})^{2}}</var>$

 

$<var>(\sqrt{(X-4)^{2}+(X-2)^{2}})^{2} = (\sqrt{(X-6)^{2}+(X-8})^{2}})^{2}</var>$

 

Elevamos ao quadrado para cortar as raízes.

 

$<var>(X-4)^{2}+(X-2)^2 = (X-6)^{2}+(X-8})^{2}</var>$

 

$<var>(X-4)^{2}+(X-2)^2 = (X-6)^{2}+(X-8})^{2} \\\\ x^{2} - 8x + 16 + x^{2} - 4x + 4 = x^{2} - 12x + 36 + x^{2} - 16x + 64 \\\\ Corta-se \ os \ x^{2} \\\\ -8x+16-4x+4 = -12x+36-16x+64 \\ -8x - 4x + 12x + 16x = 36+64-16-4 \\ 16x = 80 \\ x = \frac{80}{16} \\\\ \boxed{x = 5}</var>$

 

Portanto, as coordenadas do q é (5,5)

Answer 2

 Oi Flor,

 

 Condição I:

 

 Se $q$ pertence aos quadranto ímpares, então $x = y$;

 

 

Condição II:

 

 Já que são equidistantes, então: $d_{aq} = d_{bq}$;

 

$\\ d_{aq} = d_{bq} \\ \sqrt{(x_q - x_a)^2 + (y_q - y_a)^2} = \sqrt{(x_q - x_b)^2 + (y_q - y_b)^2} \\ (x - 4)^2 + (y - 2)^2 = (x - 6)^2 + (y - 8)^2 \\ x^2 - 8x + 16 + y^2 - 4y + 4 = x^2 - 12x + 36 + y^2 - 16y + 64 \\ 12x - 8x + 16y - 4y = 100 - 20 \\ 4x + 12y = 80 \;\;\; \div(4 \\ x  + 3y = 20$

 

Substituindo $y$ por $x$, temos:

 

$\\ x  + 3y = 20 \\ x + 3x = 20 \\ 4x = 20 \\ \boxed{x = y = 5}$