Question

A distância entre os pontos A( 1,5 ) e B( 4, 9 ) é dada por:

Answer 1

A distância entre os pontos A( 1 , 5 ) e B( 4 , 9 ) é 5 u.m ( unidade de medida )

Observe o plano cartesiano presente no anexo 1.

Euclides em seu livro Os Elementos postula na seção de noções comuns de geometria, que:

“Fique postulado traçar uma reta de todo ponto até todo ponto.”

Note que na imagem 1 existem dois pontos, logo, de acordo com o postulado de Euclides podemos echergar e traçar uma reta ( veja anexo 2 ).

Mas por que isso? Note que com essa reta traçada fica bem mais simples observar que há um triângulo retângulo formado pelas variações em x, y e a reta que liga P₁ até P₂.

Com isso, podemos deduzir facilmente a expressão que calcula a distância entre esses dois pontos. Entender essa demonstração faz com que você não necessite de decorar e passe a aprender e pensar matematicamente.

Dedução:

Veja que a base desse triângulo corresponde à variação dos valores no eixo x, ou seja, a base mede ∆x = x₂ - x₁. O mesmo vale para a altura do triângulo, perceba que ela será a variação no eixo y, ou seja, ∆y = y₂ - y₁. Uma variação sempre leva em conta a subtração do valor final pelo valor inicial, em casos de distancia, uma variação permite descobrir a dimensão de algo.

Como já falado anteriormente, a figura geométrica formada se trata de um triângulo retângulo, logo é válido o Teorema de Pitágoras

“A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa.”

$\huge \underline{ \boxed{\tt {h}^{2} = {a}^{2} + {b}^{2} }}$

Sabemos os lados e nomeamos a reta que traçamos unindo os dois pontos como d sendo ela a hipotenusa, com isso, vamos equacionar

$\displaystyle\Large \tt d^{2} = {\Delta x}^2+{\Delta y}^2$

Essa já é uma expressão que calcula a distância entre dois pontos, porém, podemos extrair a raiz em ambos os lados da equação, haja visto que é uma igualdade, e podemos expandir a variação para ficar mais evidente.

$\Large \tt \sqrt{ {d}^{2} } = \sqrt{(x_2 - x_1 )^{2} + (y_2 - y_1 )^{2} } \: \:$

Por fim, temos

$\Large \underline{ \boxed{ \tt \: {d} = \sqrt{(x_2 - x_1 )^{2} + (y_2 - y_1 )^{2} }}}$

Essa é a expressão que nos permite calcular a distância entre dois pontos de coordenadas ( x , y ) conhecidas.

Observação: Uma coordenada de um plano cartesiano bidimensional, ou seja, com eixos x e y, possui notação de um ponto tomando os valores do eixo x que se relacionam com o eixo y. Logo, a coordenada será sempre ( x , y ), um valor de x primeiro e um valor de y para complementar o par.

Agora, vamos a resolução:

Vamos identificar as coordenadas, chamando o ponto (A) de P₁ e o ponto (B) de P₂

$\large \tt P_1(\stackrel{x_1}{1},\stackrel{y_1}{5}) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:P_2 ( \stackrel{x_2}{4},\stackrel{y_2}{9})$

Nos resta agora substituir esses pontos na expressão que deduzimos

$\Large \tt {d} = \sqrt{(4 - 1 )^{2} + (9 - 5)^{2} }\\\\ \Large \tt {d} = \sqrt{ {3}^{2} + {4}^{2} } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \Large \tt {d} = \sqrt{ 9 + 16 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\\\ \Large \tt {d} = \sqrt{ 25 } \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:\\\\ \Large \red{\underline{\boxed{\tt \therefore\:d = 5 \: u.m}}}$

Observação: u.m quer dizer unidade de medida, é uma forma de expressar que a dimensão é linear sem conhecer a unidade propriamente dita.

Portanto a distância entre os pontos A( 1 , 5 ) e B( 4 , 9 ) é de 5 unidades.

❏ Seção de links para mais conteúdos sobre distância entre pontos e geometria analítica:

• https://brainly.com.br/tarefa/41015686
• https://brainly.com.br/tarefa/30744078