Question

a distancia entre o ponto p (2,0,7) e a reta (x,y,z)= (2t,2+2t,-3+t) será

Answer 1

Explicação passo a passo:

Dados:  P = (2, 0, 7)

             Chamando a reta de r:    $r=\left \{ {{x=2t} \atop {y=2+2t}} \atop {z=-3+t}\right.$

O vetor diretor de r será:

    dr = (2, 2, 1)  →  coeficientes de t

    obs.: considere o vetor dr com uma seta em cima

Precisamos escolher um ponto qualquer da reta r.

Escolhendo t = 0 (o ponto mais fácil), obtemos o ponto Q:

    x = 2t  →  x = 2 · 0  →  x = 0

    y = 2 + 2t  →  y = 2 + 2 · 0  →  y = 2 + 0  →  y = 2

    z = -3 + t  →  z = -3 + 0  →  z = -3

    Q = (0, 2, -3)

Considerando o ponto P = (2, 0, 7), temos que

    QP = P - Q = (2, 0, 7) - (0, 2, -3) = (2 - 0, 0 - 2, 7 - (-3)) = (2, -2, 10)

    obs.: considere o vetor QP com uma seta em cima

Agora vamos calcular o determinante de QP × dr

    $QP.dr=\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&-2&10\\2&2&1\end{array}\right]$

                    $\left[\begin{array}{ccc}i&j&k\\2&-2&10\\2&2&1\end{array}\right]\left\begin{array}{ccc}i&j\\2&-2\\2&2\end{array}\right$

    Diagonal principal

         i · (-2) · 1 + j · 10 · 2 + k · 2 · 2 = -2i + 20j + 4k

    Diagonal secundária

         2 · (-2) · k + 2 · 10 · i + 1 · 2 · j = -4k + 20i + 2j

    Determinante

         (-2i + 20j + 4k) - (-4k + 20i + 2j)

         -2i + 20j + 4k + 4k - 20i - 2j = -22i + 18j + 8k

    Então, QP × dr = (-22, 18, 8)

Como dr = (2, 2, 1) e QP × dr = (-22, 18, 8), vamos substituir na fórmula

    $d(P,r)=\frac{|QP.dr|}{|dr|}$

    $d(P,r)=\frac{\sqrt{(-22)^{2}+18^{2}+8^{2}}}{\sqrt{2^{2}+2^{2}+1^{2}}}$

    $d(P,r)=\frac{2\sqrt{218}}{3}$

Em decimais = 9,84