Question

A distância do ponto A( m ; 1 ) ao ponto B ( 4 ; 0) é de 2√2 ( dois vezes raiz de dois) unidades. Qual o valor de m? * (2±√7) (2±4√7) 8 (4±2√7) (4±√7)

Answer 1

✅ Distância entre dois pontos:

Se foram dados os pontos:

                  $\large\displaystyle\begin{gathered}A(m, 1)\\B(4, 0) \end{gathered}$

E a distância entre A e B como sendo:

               $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}D_{\overline{AB}} = 2\sqrt{2} \end{gathered} }$

Sabendo que a distância entre dois pontos pode ser calculada utilizando a seguinte fórmula:

         $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}D_{\overline{AB}} = \sqrt{(X_{B} - X_{A} )^{2} + (Y_{B} - Y_{A} )^{2} } \end{gathered} }$

          $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}2\sqrt{2} = \sqrt{(4 - m)^{2} + (0 - 1)^{2} } \end{gathered} }$

          $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}2\sqrt{2} = \sqrt{(4 - m)^{2} + (-1)^{2}} \end{gathered} }$

     $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}(2\sqrt{2} )^{2} = (\sqrt{(4 - m)^{2} + 1} )^{2} \end{gathered} }$

  $\large\displaystyle\begin{gathered}2^{2} \cdot(\sqrt{2} )^{2} = (4 - m)^{2} + 1 \end{gathered}$

            $\large\displaystyle\begin{gathered}4\cdot2 = 16 - 8m + m^{2} + 1 \end{gathered}$

             $\large\displaystyle\begin{gathered}8 = 17 - 8m + m^{2} \end{gathered}$

             $\large\displaystyle\begin{gathered}m^{2} - 8m + 9 = 0 \end{gathered}$

Neste ponto chegamos a uma equação do segundo grau, cujos coeficientes são:  

          $\large\displaystyle\begin{gathered}a = 1,\:\:\:b = -8\:\:\: e\:\:\:c = 9 \end{gathered}$

Calculando o valor do delta, temos:

               $\large\displaystyle\begin{gathered}\Delta = b^{2} - 4\cdot a\cdot c \end{gathered}$

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}= (-8)^{2} - 4\cdot1\cdot9 \end{gathered}$

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}= 64 - 36 \end{gathered}$

                    $\large\displaystyle\begin{gathered}= 28 \end{gathered}$

Aplicando a fórmula de Bhaskara temos:

                 $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}m = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta} }{2\cdot a} \end{gathered} }$

                     $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{-(-8) \pm \sqrt{28} }{2\cdot 1} \end{gathered} }$

                     $\large\displaystyle\text{ \begin{gathered}= \frac{8 \pm 2\sqrt{7} }{2} \end{gathered} }$

                     $\large\displaystyle\begin{gathered}= 4 \pm \sqrt{7} \end{gathered}$

✅ Portanto, os possíveis valores de "m" são:

               $\large\displaystyle\begin{gathered}m = 4 \pm\sqrt{7} \end{gathered}$

✅ Portanto, os possíveis lugares geométricos para o ponto A são:

                   $\large\displaystyle\begin{gathered}A'(6.64, 1)\\A''(1.35, 1) \end{gathered}$

Saiba mais sobre distância entre dois pontos:

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Solução gráfica da questão: