Question

A distância do ponto (0,6) à reta de equação y = x é igual

A. √3
B. √2
C. 3√2
D. 2√3

Answer 1

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas em geometria analítica.

Seja um ponto $P~(x_0,~y_0)$ e uma reta $r:ax+by+c=0$. A distância $d$ deste ponto à reta pode ser calculada pela fórmula: $d=\dfrac{|a\cdot x_0+b\cdot y_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$, respeitadas as condições de existência.

Então, devemos calcular a distância do ponto $P~(0,~6)$ à reta de equação $y=x$.

Primeiro, encontramos a equação geral da reta subtraindo $x$ em ambos os lados da igualdade

$-x+y=0$

Substituindo as coordenadas dos pontos e os coeficientes da reta, teremos:

$d_{Pr}=\dfrac{|(-1)\cdot 0+1\cdot 6|}{\sqrt{(-1)^2+1^2}}$

Calcule as potências, multiplique e some os termos

$d_{Pr}=\dfrac{|0+6|}{\sqrt{1+1}}\\\\\\\ d_{Pr}=\dfrac{|6|}{\sqrt{2}}$

Calcule o módulo do número negativo, sabendo que $|x|=\begin{cases}x,~se~x\geq0\\-x,~se~x<0\\\end{cases}$

$d_{Pr}=\dfrac{6}{\sqrt{2}}$

Racionalize o denominador, multiplicando a fração por um fator $\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

$d_{Pr}=\dfrac{6}{\sqrt{2}}\cdot\dfrac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\\\\\\ d_{Pr}=\dfrac{6\sqrt{2}}{2}\\\\\\ d_{Pr}=3\sqrt{2}~~\bold{u.~c}~~\checkmark$

Esta é a distância do ponto à reta que buscávamos.