Question

A diferença entre os quadrados de dois  numeros naturais é 144, e a razao entre eles é 3/5. A soma desses dois numeros naturais e?

Answer 1

$\boxed{ \left \{ {{x^2-y^2=144} \atop { \frac{x}{y} = \frac{3}{5} }} \right. }$

$3y = 5x$

$\boxed{y = \frac{5x}{3} }$

Substituindo esse valor na primeira equação:

$( \frac{5x}{3})^2 -x^2= 144$

$\frac{25x^2}{9} -x^2 = 144$

$\frac{25x^2-9x^2 = 1296}{9}$

$16x^2 = 1296$

$x^2 = 81$

$\boxed{x = \pm9}$

$y^2 - (9)^2 = 144$

$y^2 = 144+81$

$y^2 = 225$

$\boxed{y=\pm15}$

Obs: A equação foi invertida pois "y" é maior que "x", verificamos isso através da razão.

Espero ter ajudado. :))

Answer 2

Chamando esses números de a e b podemos fazer a=3x e b=5x; na hora de fazer a proporção encontramos:

$\frac{a}{b}=\frac{3x}{5x}=\frac{3}{5}$

que confere com a informação dada. Note que a+b = 8x. Usando a segunda informação dada temos:

$b^2-a^2=144 \Rightarrow (5x)^2-(3x)^2=144 \Rightarrow 25x^2-9x^2=144 \Rightarrow \\ \\ \Rightarrow 16x^2=144 \Rightarrow x^2=9 \Rightarrow x=3 \ \mathrm{ou} \ x=-3$

Agora que temos os possíveis valores de x podemos calcular a soma a+b:

i) $x=3 \Rightarrow a+b=8.3 \Rightarrow \boxed{a+b=24}$

ii) $x=-3 \Rightarrow a+b=8.(-3) \Rightarrow \boxed{a+b=-24}$