Question

A diferença entre dois números naturais = 6
A soma do quadrado destes dois números = 146
Quais são estes números?

Answer 1

| x - y = 6 --> x = 6 + y  (I)
| x² + y² = 146  (II)


Substituindo (I) em (II):

(6 + y)² + y² = 146
(36 + 2.6.y + y²) + y² = 146

y² + y² + 12y + 36 - 146 = 0
2y² + 12y - 110 = 0

Simplificando (dividindo toda a equação por 2), vem:

y² + 6y - 55 = 0

Por Bhaskara:

a = 1 , b = 6 , c = -55

D = b² - 4.a.c
D = 6² - 4 . 1 . (-55)
D = 36 + 220
D = 256

$y = \frac{-b \ +- \ \sqrt{D}}{2a} \\ \\ y = \frac{-6 \ +- \ \sqrt{256}}{2.1} \\ \\ y = \frac{-6 \ +- \ 16}{2} \\ \\ \\ y' = \frac{-6 \ + \ 16}{2} \\ \\ y' = \frac{10}{2}$

y' = 5

$y" = \frac{-6 \ - \ 16}{2} \\ \\ y" = \frac{-22}{2}$

y" = -11


Como o problema pede números naturais (números inteiros não-negativos), temos como valor das raízes que satisfaz o enunciado, o y = 5.


Encontrando o valor de x:

Substituindo o valor de y em (I):

x = 6 + y
x = 6 + 5
x = 11


Portanto:

Os números são x = 11 e y = 5.


Tirando a prova:

| 11 - 5 = 6
| 11² + 5² = 121 + 25 = 146

Os números satisfazem as duas equações.