Question

A diferença de dois números naturais é 286. Dividindo-se o maior pelo menor, obtém-se quociente 7 e o resto o maior possível. Determinar o número menor.

Answer 1

O maior resto possível de uma divisão é o número antecessor do divisor

Isto é, se temos uma divisão por d, o maior resto possível é d - 1
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Sejam m e n tais números naturais com m > n (n é o menor dos números)

Temos que a diferença de m e n é 286:  m - n = 286

Sabemos que $\mathsf{dividendo=quociente\cdot divisor+resto}$

Nesse caso,

$\begin{cases}\mathsf{dividendo=m}\\\mathsf{divisor=n}\\\mathsf{quociente=7}\\\mathsf{resto=divisor-1=n-1}\end{cases}$

Então:

$\mathsf{m=7\cdot n+(n-1)}\\\\\mathsf{m=7n+n-1}\\\\\mathsf{m=8n-1}\\\\\mathsf{m-8n=-1}$


Temos então o sistema linear

$\begin{cases}\mathsf{m-n=286}\\\mathsf{m-8n=-1}\end{cases}$

Subtraindo as equações:

$\mathsf{(m-n)-(m-8n)=286-(-1)}\\\\\mathsf{m-n-m+8n=286+1}\\\\\mathsf{7n=287}\\\\\mathsf{n=\dfrac{287}{7}}\\\\\\\boxed{\boxed{\mathsf{n=41}}}$

O menor dos números citados é o 41.