(a) Determine o conjunto solução da inequação abaixo, isto é, o conjunto de todos os valores de x \in \mathbb{R} para os quais ela é verdadeira:
\frac{2x^2+4x-6}{x(x^2-x-2)}\leq 0
(b) Determine o conjunto solução da inequação abaixo, isto é, o conjunto de todos os valores de x \in \mathbb{R} para os quais ela é verdadeira:
\frac{-x+7}{x^2-x-2}+\dfrac{3}{x}\leq 0
Soluções para a tarefa
O conjunto solução das inequações abaixo é (-∞,-3] U (-1,0) U [1,2).
a) Vamos começar analisando o numerador.
A função y = 2x² + 4x - 6 é uma função quadrática com concavidade para cima cujas raízes são x = -3 e x = 1.
Sendo assim, a função é positiva antes de x = -3 e depois de x = 1, e é negativa entre as raízes.
No denominador, temos duas funções: y = 0 e y = x² - x - 2.
A função y = 0 é uma reta crescente. Sendo assim, é positiva depois de x = 0 e negativa antes de x = 0.
A função y = x² - x - 2 é uma função quadrática com concavidade para cima cujas raízes são x = -1 e x = 2. Logo, é negativa entre -1 e 2 e positiva antes de -1 e depois de 2.
Vale ressaltar que as raízes das funções que estão no denominador não pertencem ao domínio da função quociente.
Abaixo, temos o esquema das informações descritas acima. Como queremos a parte menor ou igual a zero, então podemos concluir que a solução da inequação é (-∞,-3] U (-1,0) U [1,2).
b) Observe que a inequação é a mesma inequação do item a).
Portanto, a solução é (-∞,-3] U (-1,0) U [1,2).
