Question

(a) Determine o conjunto solução da inequação abaixo, isto é, o conjunto de todos os valores de x \in \mathbb{R} para os quais ela é verdadeira:

\frac{2x^2+4x-6}{x(x^2-x-2)}\leq 0


(b) Determine o conjunto solução da inequação abaixo, isto é, o conjunto de todos os valores de x \in \mathbb{R} para os quais ela é verdadeira:

\frac{-x+7}{x^2-x-2}+\dfrac{3}{x}\leq 0

Answer 1

a)

b)

O conjunto solução de uma inequação é encontrado ao resolver esta inequação.

Para resolver uma inequação recorremos aos mesmos procedimentos usados para resolver uma equação.

a) $\frac{2x^2+4x-6}{x(x^2-x-2)}\leq 0$

O primeiro passo é trocar o sinal de inequação pelo sinal de equação

$\frac{2x^2+4x-6}{x(x^2-x-2)}=0$

Observe que o denominador não pode ser zero, senão o resultado será indefinido pois não existe numero real divisivel por zero.

Então vamos fatorar a expressão quadratica do denominador:

$\frac{2x^2+4x-6}{x(x-2)(x+1)}=0$

Temos como pontos críticos os valores  -1, 0, 2. Estes pontos são pontos de descontinuidade.

Vamos agora resolver a parte de numerador:

$\frac{2x^2+4x-6}{x(x-2)(x+1)}=0$

$\frac{2(x^2+2x-3)}{x(x-2)(x+1)}=0$

Observe que podemos fatorar a expressão quadratica do numerador.

$\frac{2(x+3)(x-1)}{x(x-2)(x+1)}=0$

descobrimos novos  pontos críticos: -3, 1. Ao contráio dos pontos anteriores, x pode ser igual a -3 ou a 1.

Estes pontos são críticos porque eles zeram a função.

Vamos agora investigar o conjunto solução.

Para isso, precisamos fazer um estudo de sinais.

Queremos achar o conjunto solução de

$\frac{2x^2+4x-6}{x(x^2-x-2)}\leq 0$

E isto só ocorre para os valores menores que zero.

Os pontos críticos -1, 0, 2 e -3, 1 ou são pontos indeterminados ou são pontos que resultam em zero.

Comecemos do menor valor para o maior:

Vamos verificar que valores menores que -3 fazem parte do conjunto solução:

Ao substituir x por -4, teremos:

$\frac{2(x+3)(x-1)}{x(x-2)(x+1)}\leq 0$

$\frac{2(-4+3)(-4-1)}{-4(-4-2)(-4+1)}\leq 0$

$\frac{2(-1)(-5)}{-4(-6)(-3)}\leq 0$

$\frac{(-)*(-)*2(1)(5)}{(-)*(-)*(-)*4(6)(3)}\leq 0$

$\frac{2(1)(5)}{-4(6)(3)}\leq 0$

Assim $(-\infty,-3] \leq0$

Observe que apenas o jogo de sinais que importa.

Vamos ver entre -3 e -1:

Chute o valor -2:

$\frac{2(-2+3)(-2-1)}{-2(-2-2)(-2+1)}\leq 0$

$\frac{+(+)(-)}{-(-)(-)}\leq 0$ (troquei os valores pelo sinal resultante da soma)

$\frac{-}{-}=+$

portanto $(-3,-1) \geq {/tex] não faz parte do conjunto solução.</p><p></p><p><strong>Entre -1 e 0:</strong></p><p>Chute -0,5</p><p>[tex]\frac{2(-0,5+3)(-0,5-1)}{-0,5(-0,5-2)(-0,5+1)}\leq 0$

$\frac{+(+)(-)}{-(-)(+)}\leq 0$ E vemos que $[-1,0) \leq0$

Entre 0 e 1:

$\frac{2(0,5+3)(0,5-1)}{0,5(0,5-2)(0,5+1)}\leq 0$

$\frac{+(+)(-)}{+(-)(+)}\leq 0$  E vemos que $(0,1) \geq0$

Entre 0 e 2:

$\frac{2(1,5+3)(1,5-1)}{1,5(1,5-2)(1,5+1)}\leq 0$

$\frac{+(+)(+)}{+(-)(+)}\leq 0$  E vemos que $[1,2) \leq0$

Maior que 2:

$\frac{2(3+3)(3-1)}{3(3-2)(3+1)}\leq 0$

$\frac{+(+)(+)}{+(+)(+)}\geq 0$  E vemos que $(2,\infty) \geq0$

b) $\frac{-x+7}{x^2-x-2}+\dfrac{3}{x}\leq 0$

Procedemos da mesma forma:

$\frac{-x+7}{(x+1)(x-2)}+\dfrac{3}{x}\leq 0$

Assim os pontos de descontinuidade serão -1, 0, 2.

Estudo do sinal:

Primeiro colocaremos esta soma de frações em uma mesma fração:

$\frac{-x+7}{(x+1)(x-2)}+\dfrac{3}{x}\leq 0$

$\frac{x(-x+7)}{x(x+1)(x-2)}+\dfrac{3(x+1)(x-2)}{x(x+1)(x-2)}\leq0$

$\frac{x(-x+7)+3(x+1)(x-2)}{x(x+1)(x-2)}\leq0$

x<-1 (x=-2):

$\frac{-2(2+7)+3(-2+1)(-2-2)}{-2(-2+1)(-2-2)}$

$\frac{-18+12}{-8}\geq0$

x entre -1 e 0

$\frac{-0,5(0,5+7)+3(-0,5+1)(-0,5-2)}{-0,5(-0,5+1)(-0,5-2)}\leq0$

x entre 0 e 2

$\frac{1(-1+7)+3(1+1)(1-2)}{1(1+1)(1-2)}\> 0$

x maior que 2

$\frac{3(-3+7)+3(3+1)(3-2)}{3(3+1)(3-2)}>0$

Answer 2

Resposta:

.-. enfim não precisa disso tudo e só a letra

Explicação passo-a-passo:

C