Question

A determinante da matriz a seguir usando o Teorema de Laplace: 

0   1  1   0
1   2  -1  1
2   3   0  -1 
0   4   1   0

Obrigada. 

Answer 1

Olá Beatriz,

$D_t~A= \left|\begin{array}{ccc}0&1&1\\1&2&-1\\2&3&0\\0&4&1\end{array}\right \left\begin{array}{ccc}0\\1\\-1\\0\end{array}\right|$

o teorema de Laplace, consiste em escolher uma linha ou uma coluna para, que achado o seu determinante de ordem 3, possamos multiplica-la pelo seu cofator, vamos então escolher a 1ª coluna desta matriz, onde a chamaremos de matriz A, onde os seus cofatores serão:

a11=0; a21=1; a31=2 e a41=0, então a matriz seguirá a seguinte regra:

$D _{t}~A=(0*A _{11})+(1*A _{21})+(2*A _{31})+(0*A _{41})$, onde cada

matriz, A11, A21, A31 ou A41, se torne de ordem 3. Com o cálculo dos cofatores abaixo, podemos multiplica-los com as matrizes, de ordem 3, respectivamente.

$\begin{cases} A _{11}=(-1) ^{1+1}~\to~A _{11}=(-1)^{2}~\to~A _{11}=1\\ A _{21}=(-1) ^{2+1}~\to~A _{21}=(-1) ^{3}~\to~A _{21}=-1\\ A _{31}=(-1) ^{3+1}~\to~A _{31}=(-1) ^{4}~\to~A _{31}=1\\ A _{41}=(-1) ^{4+1}~\to~A _{41}=(-1) ^{5}~\to~A _{41}=-1\end{cases}$

Como os determinantes o primeiro e o último (A11 e A41) são multiplicados por zero, não usaremos eles, só calcularemos A21 e A31, vamos à primeira matriz:

$D _{t}~A _{21}~\to~ (-1)* \left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\3&0&-1\\4&1&0\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}1&1\\3&0\\4&1\end{array}\right\\\\\\ D _{t}~A _{21}=(-1)*[0-4+0-0+1-0]\\ D _{t}~A _{21}=(-1)*(-3)\\\\ D _{t}~A _{21}=3$

____________________________________

Agora calcularemos a 2ª matriz, (A31):

$D _{t}~A _{31}~\to~1* \left|\begin{array}{ccc}1&1&0\\2&-1&1\\4&1&0\end{array}\right| \left\begin{array}{ccc}1&1\\2&-1\\4&1\end{array}\right\\\\\\ D _{t}~A _{31}=1*[0+4+0-0-1-0]\\ D_t~A _{31}=1*3\\\\D _{t}~A _{31}=3$

Finalmente, agora voltamos à regra acima, para acharmos o determinante de ordem 4:

$D _{t}~A=1*A _{21}+2*A _{31}\\ D _{t}~A=1*3+2*3\\ D _{t}~A=3+6\\\\ \boxed{D _{t}~A=9}$


Espero ter ajudado e tenha ótimos estudos =))