Question

A derivada parcial é obtida considerando todas as variáveis fixadas, exceto uma. Desta forma, ao derivarmos a função z(x,y) = 3x2 - 2y2 +5xy em relação a x e y respectivamente temos: Escolha uma: a. 2016.2-U1S4-AAP-CDI3-Q4a.jpg b. 2016.2-U1S4-AAP-CDI3-Q4d.jpg c. 2016.2-U1S4-AAP-CDI3-Q4b.jpg d. 2016.2-U1S4-AAP-CDI3-Q4e.jpg e.

Answer 1

Temos a seguinte função:

$z(x,y) = 3x {}^{2} - 2y{}^{2} + 5xy$

A questão nos pede para derivar essa função através das derivadas parciais. Vamos começar com a derivação em relação a x:

$\frac{ \partial z}{ \partial x} = \frac{ \partial }{ \partial x} (3x {}^{2} - 2y {}^{2} + 5xy)$

Aqui ainda aplica-se aquela regra da soma de derivadas, dada por:

$\frac{ \partial }{ \partial x} [ f(x) + \cdots+ g(x) ] = \frac{ \partial}{ \partial x} f(x) + \cdots + \frac{ \partial }{ \partial x} g(x)$

Aplicando a regra:

$\frac{ \partial z}{ \partial x} = \frac{ \partial }{ \partial x} 3x {}^{2} - \frac{ \partial }{ \partial x} 2y {}^{2} + \frac{ \partial }{ \partial x} 5xy$

Agora devemos lembrar que como a derivada é em relação a x, então x é será considerado a função e y a constante, antes de aplicar esse conhecimento, vamos lembrar também que a derivada da multiplicação de uma constante por uma função é igual a:

$\frac{ \partial z}{ \partial x} = \frac{ \partial }{ \partial x} [ k.f(x)]\longleftrightarrow \frac{ \partial z}{ \partial x} = k. \frac{ \partial }{ \partial x} f(x)$

Aplicando mais uma regra:

$\frac{ \partial z}{ \partial x} = 3. \frac{ \partial }{ \partial x} x {}^{2} - 2 \frac{ \partial z}{ \partial x} y {}^{2} + 5y \frac{ \partial z}{ \partial x} x \\ \\ \frac{ \partial z}{ \partial x} = 3.2x - 2.0 + 5y.1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{ \partial z}{ \partial x} = 6x + 5y - 2 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Para finalizar, devemos fazer a mesma derivação só que agora em relação a y, ou seja, y é uma função e x uma constante.

$\frac{ \partial z}{ \partial y} = 3. \frac{ \partial }{ \partial y} x {}^{2} - 2 \frac{ \partial z}{ \partial y} y {}^{2} + 5x \frac{ \partial z}{ \partial y} y \\ \\ \frac{ \partial z}{ \partial y} = 3.0 - 2.2y + 5x.1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \frac{ \partial z}{ \partial y} = 5x - 4y \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

A resposta é 6x+5y; -6y+5x

Explicação passo a passo: