Question

a derivada implícita dx/dy quando 5y² + sen (y) = x² e corretamente dada por ​

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{10y+\cos(y)}{2x}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Devemos calcular a derivada implícita desta função. Para isso, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja a função $5y^2+\sin(y)=x^2$

Então, diferenciamos ambos os lados da equação em respeito à variável $y$

$\dfrac{d}{dy}(5y^2+\sin(y))=\dfrac{d}{dy}(x^2)$

Lembre-se que:

• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada do produto entre uma constante e uma função é dada por: $(a\cdot f(x))'=a\cdot f'(x)$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada da função seno é igual a função cosseno: $(\sin(x))'=\cos(x)$.
• A derivada implícita de $x=x(y)$ é calculada pela regra da cadeia.

Aplique a regra da soma

$\dfrac{d}{dy}(5y^2)+\dfrac{d}{dy}(\sin(y))=\dfrac{d}{dy}(x^2)$

Aplique a regra do produto

$5\cdot\dfrac{d}{dy}(y^2)+\dfrac{d}{dy}(\sin(y))=\dfrac{d}{dy}(x^2)$

Calcule a derivada da potência, da função seno e aplique a regra da cadeia:

$5\cdot(2y)+\cos(y)=2x\cdot\dfrac{dx}{dy}$

Multiplique os valores

$10y+\cos(y)=2x\cdot\dfrac{dx}{dy}$

Divida ambos os lados por $2x$

$\dfrac{dx}{dy}=\dfrac{10y+\cos(y)}{2x}$

Esta é a derivada implícita desta função em respeito à variável $y$.

Answer 2

Resposta:

dx =          2x

__     ___________

dy      10y+cos(y)

Explicação passo-a-passo:

Após a derivação à esquerda e á direita temos: