Question

A derivada dy/dx da função definida implicitamente por xy+y2=y-1 e dado por

Answer 1

Derivada implícita. Exemplo :

$\displaystyle \frac{dy}{dx}[x^k.y^n] = k.x^{(k-1)}.n.y^{(n-1)}.y'$

( Deriva normal e na hora de derivar o y e multiplica por y' . só isso )

Vamos derivar a função :

$x.y+y^2 = y-1$

derivando :

$1.y' + 2.y.y' = 1.y' - 1$

$2y.y' = - 1$

se quiser isolar o y.

$\displaystyle 2.y.y' = - 1 \to \fbox{\displaystyle y = \frac{-1}{2y'} }$

Answer 2

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$\sf xy+y^2=y^{-1}\implies xy+y^2=\dfrac{1}{y}\cdot y\\\sf xy^2+y^3=1\\\sf y^2+x\cdot 2xy\dfrac{dy}{dx}+3y^2\dfrac{dy}{dx}=0\\\sf\dfrac{dy}{dx}(2x^2y+3y^2)=-y^2\\\sf\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y^2}{2x^2y+3y^2}\\\sf\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{\diagup\!\!\!y^2}{\diagup\!\!\!y\cdot(2x^2+3y)}\\\huge\boxed{\boxed{\boxed{\boxed{\sf\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{y}{2x^2+3y}}}}}$