Question

A derivada da função



’(0) = 1
’(0) = -1
’(0) = 0
’(0) = √2
’(0) = 2√3

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{c)~f'(0)=0}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para resolvermos esta questão, devemos nos relembrar de algumas propriedades.

Seja função: $f(x)=\dfrac{x^2\sqrt{2x^2+1}}{x+1}$. Devemos encontrar $f'(0)$.

Lembre-se que:

• A derivada de uma função racional é calculada pela regra do quociente: $\left(\dfrac{u}{v}\right)'=\dfrac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^2}$.
• A derivada de um produto entre funções é calculada pela regra do produto: $(u\cdot v)'=u'\cdot v+u\cdot v'$.
• A derivada de uma potência é dada por: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
• A derivada de uma função composta é calculada pela regra da cadeia: $(f(g(x)))'=g'(x)\cdot f'(g(x))$.
• A derivada de uma soma de funções é igual a soma das derivadas das funções.
• A derivada de uma constante é igual a zero.

Derivando ambos os lados da função

$f'(x)=\left(\dfrac{x^2\sqrt{2x^2+1}}{x+1}\right)'$

Aplique a regra do quociente

$f'(x)=\dfrac{(x^2\sqrt{2x^2+1})'\cdot (x+1)-x^2\sqrt{2x^2+1}\cdot (x+1)'}{(x+1)^2}$

Aplique a regra do produto e da soma

$f'(x)=\dfrac{[(x^2)'\cdot\sqrt{2x^2+1}+x^2\cdot(\sqrt{2x^2+1})']\cdot (x+1)-x^2\sqrt{2x^2+1}\cdot [(x)'+(1)']}{(x+1)^2}$

Aplique a regra da potência, da cadeia e da constante. Lembre-se que $\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$

$f'(x)=\dfrac{\left[2x\cdot\sqrt{2x^2+1}+x^2\cdot(2x^2+1)'\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{2x^2+1}}\right]\cdot (x+1)-x^2\sqrt{2x^2+1}}{(x+1)^2}$

Calcule a derivada da soma e multiplique as frações

$f'(x)=\dfrac{\left[2x\cdot\sqrt{2x^2+1}+x^2\cdot((2x^2)'+(1)')\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{2x^2+1}}\right]\cdot (x+1)-x^2\sqrt{2x^2+1}}{(x+1)^2}$

$f'(x)=\dfrac{\left[2x\cdot\sqrt{2x^2+1}+x^2\cdot4x\cdot\dfrac{1}{2\sqrt{2x^2+1}}\right]\cdot (x+1)-x^2\sqrt{2x^2+1}}{(x+1)^2}\\\\\\\\ f'(x)=\dfrac{\left[2x\cdot\sqrt{2x^2+1}+\dfrac{2x^3}{\sqrt{2x^2+1}}\right]\cdot (x+1)-x^2\sqrt{2x^2+1}}{(x+1)^2}$

Some as frações

$f'(x)=\dfrac{\left[\dfrac{2x\cdot(2x^2+1)+2x^3}{\sqrt{2x^2+1}}\right]\cdot (x+1)-x^2\sqrt{2x^2+1}}{(x+1)^2}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação e some os valores

$f'(x)=\dfrac{\left[\dfrac{4x^3+2x+2x^3}{\sqrt{2x^2+1}}\right]\cdot (x+1)-x^2\sqrt{2x^2+1}}{(x+1)^2}\\\\\\\\ f'(x)=\dfrac{\left[\dfrac{6x^3+2x}{\sqrt{2x^2+1}}\right]\cdot (x+1)-x^2\sqrt{2x^2+1}}{(x+1)^2}$

Multiplique e some as frações

$f'(x)=\dfrac{(6x^3+2x)(x+1)-x^2(2x^2+1)}{(x+1)^2\cdot\sqrt{2x^2+1}}$

Efetue a propriedade distributiva da multiplicação

$f'(x)=\dfrac{6x^4+6x^3+2x^2+2x-2x^4-x^2}{(x+1)^2\cdot\sqrt{2x^2+1}}$

Some os termos semelhantes

$f'(x)=\dfrac{4x^4+6x^3+x^2+2x}{(x+1)^2\cdot\sqrt{2x^2+1}}$

Esta é a derivada desta função. Substituindo $x=0$, teremos:

$f'(0)=\dfrac{4\cdot0^4+6\cdot0^3+0^2+2\cdot0}{(0+1)^2\cdot\sqrt{2\cdot0^2+1}}$

Some os valores entre parênteses, calcule as potências e multiplique os valores

$f'(0)=\dfrac{0}{1\cdot\sqrt{1}}$

Calcule a fração

$f'(0)=0$

Este é o valor que buscávamos e é a resposta contida na letra c).