Question

A curva y = ax2 + bx + c passa pelo ponto (1, 2), tangenciando a reta y = x na origem. Encontre a, b e c.

Answer 1

A questão trata sobre curvas no plano e pontos tangentes.

Pontos Tangentes

Dadas duas curvas distintas, γ e α, dizemos que uma tangencia a outro num ponto t₀ se ambas possuírem a mesma reta tangente neste ponto, ou seja, se o coeficiente angular e linear forem iguais. Como o coeficiente linear depende unicamente do valor da curva naquele ponto, então basta que os pontos se coincidam, além disso, para que o coeficiente angular seja o mesmo, a derivada de ambas deve ser igual. Portanto, duas curvas são tangentes se satisfazem

$i)\, \gamma(t_0) = \alpha(t_0)\\\\ii)\, \gamma'(t_0) = \alpha'(t_0)$

A primeira garante que ambas se coincidam no ponto tangente, enquanto a segunda garante que no ponto as duas curvas serão tangentes, já que a derivada mede a inclinação da reta tangente, derivadas iguais implica inclinações iguais, enquanto a primeira garante que as retas tangentes são a mesma.

Exercício

Seja a curva definida por

$\gamma = ax^2+bx+c$

Dela sabemos duas coisas,

$i)\,\gamma(1) = 2\\\\ii)\, \gamma \ \mathrm{tangencia} \ y=x \ \mathrm{na \ origem}$

Desta segunda obtemos outras duas pela propriedade de serem tangentes em (0, 0), portanto, γ é tal

$i)\,\gamma(1) = 2\\\\ii)\, \gamma(0) = 0\\\\iii)\, \gamma'(0) = 1$

Como nossa curva e sua derivada são

$\gamma(x) = ax^2+bx+c\\\\ \gamma'(x) = 2ax+b$

Substituindo nas igualdades obtemos o sistema linear

$i)\,a+b+c= 2\\\\ii)\, c = 0\\\\iii)\, b = 1$

Obtendo que

$a = 1,\hspace{0.2cm} b = 1,\hspace{0.2cm} c=0$

Portanto, a curva γ é dada por

$\boxed{\gamma(x) = x^2+x}$

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