A coroa circular sombreada da figura abaixo é formada pelas
circunferências inscrita e circunscrita ao pentágono regular ABCDE
de perímetro igual a 20 cm. Qual a área dessa coroa circular?
Soluções para a tarefa
Resposta:
A área da coroa circular é igual a 12,56 cm²
Explicação passo-a-passo:
A área da coroa circular (Acc) é igual à diferença entre as áreas da circunferência maior (AcM) e a área da circunferência menor (Acm):
Acc = AcM - Acm
1. Para obter as áreas da circunferência maior e da circunferência menor, precisamos obter os seus raios, a partir do lado do pentágono (L5), que é conhecido:
L5 = 20 cm ÷ 4
L5 = 5 cm
1.1. O raio da circunferência maior (rcM) é igual a:
rcM = L5/1,175
rcM = 5/1,175
rcM = 4,255 cm
Então, a área do círculo maior é igual a:
AcM = π × 4,255²
AcM = 3,14 × 18,11 cm²
AcM = 56,87 cm²
1.2. O raio da circunferência inscrita no pentágono (rcm) é igual ao apótema (a) do pentágono. Como conhecemos o lado do pentágono e o raio da circunferência circunscrita, podemos obter o apótema, pois ele é o cateto de um triângulo retângulo, no qual a hipotenusa é o raio da circunferência circunscrita e o outro cateto é a metade do lado do pentágono. Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:
rcM² = (L5/2)² + a²
4,255² = 2² + a²
a² = 18,11 - 4
a = √14,11
rcm = a = 3,756 cm
Assim, a área da circunferência inscrita no pentágono é igual a:
Acm = 3,14 × 3,756²
Acm = 3,14 × 14,11 cm²
Acm = 44,31 cm²
2. A área da coroa circular, então, é igual a:
Acc = 56,87 cm² - 44,31 cm²
Acc = 12,56 cm²