Question

A coroa circular sombreada da figura abaixo é formada pelas
circunferências inscrita e circunscrita ao pentágono regular ABCDE
de perímetro igual a 20 cm. Qual a área dessa coroa circular?

Answer 1

Resposta:

A área da coroa circular é igual a 12,56 cm²

Explicação passo-a-passo:

A área da coroa circular (Acc) é igual à diferença entre as áreas da circunferência maior (AcM) e a área da circunferência menor (Acm):

Acc = AcM - Acm

1. Para obter as áreas da circunferência maior e da circunferência menor, precisamos obter os seus raios, a partir do lado do pentágono (L5), que é conhecido:

L5 = 20 cm ÷ 4

L5 = 5 cm

1.1. O raio da circunferência maior (rcM) é igual a:

rcM = L5/1,175

rcM = 5/1,175

rcM = 4,255 cm

Então, a área do círculo maior é igual a:

AcM = π × 4,255²

AcM = 3,14 × 18,11 cm²

AcM = 56,87 cm²

1.2. O raio da circunferência inscrita no pentágono (rcm) é igual ao apótema (a) do pentágono. Como conhecemos o lado do pentágono e o raio da circunferência circunscrita, podemos obter o apótema, pois ele é o cateto de um triângulo retângulo, no qual a hipotenusa é o raio da circunferência circunscrita e o outro cateto é a metade do lado do pentágono. Aplicando o Teorema de Pitágoras, temos:

rcM² = (L5/2)² + a²

4,255² = 2² + a²

a² = 18,11 - 4

a = √14,11

rcm = a = 3,756 cm

Assim, a área da circunferência inscrita no pentágono é igual a:

Acm = 3,14 × 3,756²

Acm = 3,14 × 14,11 cm²

Acm = 44,31 cm²

2. A área da coroa circular, então, é igual a:

Acc = 56,87 cm² - 44,31 cm²

Acc = 12,56 cm²