Question

Um balão esférico ao ser inflamado

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Lolah, aqui estamos entendendo que o que está sendo pedido é a área da superfície do balão, quando o seu raio é incrementado em 20cm, pois está sendo pedida a área da superfície do balão quando o raio for "20"cm; quando o raio for de 40cm; e quando o raio for de 60cm. Note que está havendo sempre um incremento de 20cm no raio do balão. Então, a resolução que foi dada foi em forma de derivada, calculando-se a área que daria para um determinado raio e dividindo-se o resultado pelo incremento havido no raio.

i) Veja que a área da superfície seria esta:

S(r)  = 4πr² ----- Vamos encontrar a derivada:

S'(r) = 2*4πr
S'(r) = 8πr       . (I)

ii) Agora vamos encontrar o resultado da derivada para r = 20, conforme vimos na expressão (I) acima, e dividir pelo próprio 20, pois (20-0 = 20), ou seja, não houve, neste início, nenhum incremento no raio. Assim, teremos:

S'(20) = 8π*20 / 20
S'(20) = 160π / 20 ---- simplificando-se numerador e denominador por "20", teremos;

S'(20) = 8π cm²<--- Este seria o incremento na área quando o raio for 20cm.

iii) Agora vamos encontrar quando r = 40. Note que aqui vamos encontrar o resultado da derivada para r = 40 e dividir por "20", pois o incremento foi de 20cm (40-20 = 20). Assim, fazendo isso, teremos:

S'(40) = 8π*40 / (40-20)
S'(40) = 320π / 20 ---- simplificando-se numerador e denominador por 20, temos:

S'(40) = 16π cm² <--- Este seria o incremento na área quando o raio for 40cm.

iii) Agora vamos encontrar quando r = 60. Note que aqui vamos encontrar o resultado da derivada para r = 60 e dividir por "20", pois o incremento foi de 20cm (60-40 = 20). Assim, fazendo isso, teremos:

S'(60) = 8π*60 / (60-40)
S'(60) = 480π / 20 --- simplificando-se numerador e denominador por "20", teremos:

S'(60) = 24π cm² <--- Este seria o incremento na área quando o raio for 60cm.

Como se vê, verifica-se que a área da superfície do balão guarda uma certa linearidade sempre que o raio tem um incremento de 20cm.

OK?
Adjemir.