Question

A computação gráfica utiliza duas matrizes inversíveis que são extremamente úteis para suas operações: a matriz de rotação (R) e a matriz de translação (T). A primeira rotaciona um ponto, escrito matricialmente, de certo ângulo, e a segunda desloca esse ponto, am- bas em relação a um referencial. Assim, por meio de sucessivas transformações com essas matrizes, uma imagem ganha movimento. Considere uma matriz P referente às coordenadas de certo ponto. Se um programador de jogos eletrônicos realizasse a transformação: P’ = PRTR, em que P’ é o ponto obtido pela transformação, a transformação in- versa seria: A P = R –1 T –1 R –1 P’ B P = R –1 R –1 T –1 P’ C P = P’ R –1 R –1 T –1 D P = P’ T –1 R –1 R –1 E P = P’ R –1 T –1 R –1

Answer 1

Utilizando definição de multiplicação de matrizes, temos que a nossa expressão inversa é dada por: $P=P'.R^{-1}.T^{-1}.R^{-1}$

Explicação:

Então temos a seguinte transformação:

$P'=P.R.T.R$

E queremos uma inversa, ou seja, encontrar uma expressão que nos de novamente P em função de P'. Para isso temos que multiplicar esta expressão dos dois lados no mesmo sentido uma a uma pelas inversas das matrizes utilizados na transformação, sempre multiplicando pela direita que é por onde foi multiplicar a transformação inicial:

$P'.R^{-1}=P.R.T.R.R^{-1}$

$P'.R^{-1}=P.R.T.\mathbb{I}$

$P'.R^{-1}=P.R.T$

Agora pela inversa da matriz T:

$P'.R^{-1}.T^{-1}=P.R.T.T^{-1}$

$P'.R^{-1}.T^{-1}=P.R.\mathbb{I}$

$P'.R^{-1}.T^{-1}=P.R$

E finalmente pela matriz R inversa novamente:

$P'.R^{-1}.T^{-1}.R^{-1}=P.R.R{-1}$

$P'.R^{-1}.T^{-1}.R^{-1}=P.\mathbb{I}$

$P'.R^{-1}.T^{-1}.R^{-1}=P$

Assim ficamos com:

$P=P'.R^{-1}.T^{-1}.R^{-1}$

E esta é a transformação inversa da expressão dada.