Question

A circunferência de equação x2 + y2 − 2x + 8y + 4 = 0 é secante a reta t: x – y = 0. Os pontos de interseção entre a reta e a circunferência são: a) (−1 , −1) e (−2 , −2) b) (1 , −1) e (−2 , 2) c) (−1 , 1) e (2 , −2) d) (1 , −1) e (−2 , 2)

Answer 1

Temos a seguinte equação geral de uma circunferência:

$x {}^{2} + y {}^{2} - 2x + 8y + 4 = 0$

A questão fala que uma reta é secante a essa circunferência, ou seja, ela toca a circunferência em dois pontos distintos, a reta é dada por:

$t : \: \: x - y = 0 \rightarrow x = y$

Para encontrar os pontos de tangência, basta substituir o valor de "x" ou "y" encontrado na expressão acima. Substituindo o valor de "x", vamos ter que:

$y {}^{2} + y {}^{2} - 2y + 8y + 4 = 0 \\ 2y {}^{2} + 6y + 4 = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora vamos resolver essa equação do segundo grau:

$\sf 1) \: coeficientes : \\ \begin{cases} a = 2 \\ b =6 \\ c = 4 \end{cases} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf 2) Delta : \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \Delta = b {}^{2} - 4.a.c \: \: \: \: \: \\ \Delta = (6) {}^{2} - 4.2..4 \\ \Delta = 36 - 32 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \Delta = 4 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \sf 3) \: bh \acute{a}skara : \: \: \: \: \: \: \\ \sf y= \frac{ - b \pm \sqrt{ \Delta} }{2.a} \\ \sf y = \frac{ - 6 \pm \sqrt{4} }{2.2} \\ \sf y = \frac{ - 6 \pm 2}{4} \rightarrow \begin{cases} \sf y_1 = \frac{ - 6 + 2}{4} \\ \sf y_1 = \frac{ - 4}{4} \\ \sf y_1 = - 1\end{cases} \begin{cases} \sf y_2 = \frac{ - 6 - 2}{4} \\ \sf y_2 = \frac{ - 8}{4} \\ \sf y_2 = - 2 \end{cases}$

Portanto, temos dois valores de "y", para descobrir a abscissa (x) correspondente a ele, devemos substituir os valores na expressão da equação da reta.

• Para y = -1:

$x - y = 0 \\ x - ( - 1) = 0 \\ x + 1 = 0 \\ \boxed{x = - 1}$

Portanto a coordenada do ponto de tangência é dado por:

$\boxed{\boxed{P_1( - 1, - 1)}}$

• Para y = -2:

$x - y = 0 \\ x - ( - 2) = 0 \\ x + 2 = 0 \\ \boxed{x = - 2}$

O outro ponto de tangência é dado por:

$\boxed{\boxed{P_2( - 2, - 2)}}$

Espero ter ajudado