A circunferência de centro em(2,0)e tangente ao eixo y e interceptada pela circunferência C,definida pela equação x2+y2=4,É pela semi-reta que parte da origem e faz ângulo de 30°com o eixo x?
Soluções para a tarefa
Completando a questão:
...conforme a figura a seguir.
a) Determine as coordenadas do ponto P.
b) Calcule a área da região sombreada.
Solução.
a) Primeiramente, vamos calcular a equação da reta que passa pela origem e possui inclinação igual a 30°.
Como a reta passa pela origem, então a mesma é da forma y = ax.
O coeficiente angular "a" é calculado fazendo a tangente do ângulo, ou seja,
a = tg(30)
Assim,
Agora, vamos escrever a equação da circunferência de centro no ponto (2,0).
Como a circunferência é tangente ao eixo y, então o raio é igual a 2.
Logo, (x - 2)² + y² = 4
Substituindo a reta na equação da circunferência:
9x² - 36x + 36 + 3x² = 36
12x² - 36x = 0
12x(x - 3) = 0
x = 0 ou x = 3.
Como o ponto P não está sob o eixo y, então x = 3 e y = √3.
Portanto, P = (3,√3).
b) Para calcular a área sombreada, observe a figura abaixo.
A área sombreada é igual a área da circunferência menos a área de interseção entre as duas circunferências.
A área da interseção é igual a:
Portanto, a área sombreada é igual a: