Question

A casa de uma pessoa M fica no cruzamento de duas ruas perpendiculares representadas na figura pelos eixos coordenados Ox e Oy. Para se encontrar com um colega em Q, ao invés de andar ao longo dos caminhos retilíneos OP e PQ, a pessoa M toma um atalho, ao longo da diagonal OQ, reduzindo a distância percorrida em um terço da distância de P a Q. Nessas condições, pode-se afirmar que, tomando o atalho, M diminuiu o percurso em :

A) 800 metros. B) 1200 metros. C) 1600 metros. D) 2000 metros. E) 2400 metro

Answer 1

Este é um problema de trigonometria.

Pelo gráfico, temos que o segmento OP é igual a 1 km.
Se a pessoa pega o atalho OQ para se encontrar com o colega, ela reduz a distância em um terço de PQ do que se fosse por OP e PQ. Então temos que:
$OQ = OP + \dfrac{2}{3}PQ$

Pelo Teorema de Pitágoras, temos que:
$OP^2+PQ^2 = OQ^2 \\ \\ 1+PQ^2 = (1 + \dfrac{2}{3}PQ)^2 \\ \\ 1+PQ^2 = 1+\dfrac{4}{3}PQ + \dfrac{4}{9} PQ^2 \\ \\ \dfrac{5}{9} PQ^2- \dfrac{4}{3}PQ = 0 \\ \\ 5PQ^2 - 12PQ = 0$

Resolvendo a equação de 2º grau por Bhaskara, encontramos PQ' = 2,4; PQ'' = 0. Como PQ não pode ser 0, a distância é de 2400 metros.

Se M seguir pelo caminho retilíneo OP - PQ, a distância percorrida será de 3400 metros. Já se ela seguir por OQ, a distância percorrida é de 2600 metros. A diferença é de 800 metros.

Resposta: letra A