Question

A- Calcule o limite de $\sqrt{x+2} -\sqrt{2} / x$ , com x tendendo a 0.

B- Calcule o limite de 3 - x / 3 - $\sqrt{3x}$, com x tendendo a 3.

Answer 1

Resposta:

$\boxed{\bold{\displaystyle{a)~\dfrac{1}{2\sqrt{2}}~\biggr|~b)~2}}}$

Explicação passo-a-passo:

Olá, boa noite.

Para calcularmos os seguintes limites, devemos relembrar algumas propriedades básicas.

a)  $\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}$

Neste caso, multiplicamos o numerador e o denominador pelo conjugado do numerador, logo

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{\sqrt{x+2}-\sqrt{2}}{x}\cdot\dfrac{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}$

Relembre-se da propriedade do produto da soma pela diferença: $(a+b)\cdot(a-b)=a^2-b^2$

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{(\sqrt{x+2})^2-(\sqrt{2})^2}{x\cdot(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}$

Calcule as potências

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{x+2-2}{x\cdot(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}$

Cancele os termos opostos

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{x}{x\cdot(\sqrt{x+2}+\sqrt{2})}$

Simplifique a fração

$\underset{x\rightarrow0}{\lim}~\dfrac{1}{\sqrt{x+2}+\sqrt{2}}$

Então, calcule o limite, visto que as funções são contínuas em $x=0$

$\dfrac{1}{\sqrt{0+2}+\sqrt{2}}$

Some os valores

$\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}\\\\\\\\ \dfrac{1}{2 \sqrt{2}}$

b)  $\underset{x\rightarrow3}{\lim}~\dfrac{3-x}{3-\sqrt{3x}}$

Agora, racionalizamos o denominador, multiplicando o numerador e o denominador pelo seu conjugado, logo

$\underset{x\rightarrow3}{\lim}~\dfrac{3-x}{3-\sqrt{3x}}\cdot\dfrac{3+\sqrt{3x}}{3+\sqrt{3x}}$

Aplique a propriedade de produto da soma pela diferença

$\underset{x\rightarrow3}{\lim}~\dfrac{(3-x)\cdot(3+\sqrt{3x})}{3^2-(\sqrt{3x})^2}$

Calcule as potências

$\underset{x\rightarrow3}{\lim}~\dfrac{(3-x)\cdot(3+\sqrt{3x})}{9-3x}$

Veja que podemos fatorar o denominador: $9-3x=3\cdot(3-3x)$, assim teremos

$\underset{x\rightarrow3}{\lim}~\dfrac{(3-x)\cdot(3+\sqrt{3x})}{3\cdot(3-x)}$

Simplifique a fração

$\underset{x\rightarrow3}{\lim}~\dfrac{3+\sqrt{3x}}{3}$

Visto que as funções são contínuas em $x=3$, calcule o limite

$\dfrac{3+\sqrt{3\cdot 3}}{3}$

Multiplique os valores

$\dfrac{3+\sqrt{9}}{3}$

Calcule a raiz

$\dfrac{3+3}{3}$

Some os valores

$\dfrac{6}{3}$

Simplifique a fração

$2$