Question

A)Calcule a derivada da função f(x) = x.sen 2x no ponto x = π


b)Calcule a derivada de terceira ordem da função f(x) = cos 2x

Answer 1

Vamos relembrar algumas derivadas das funções trigonométricas.

1) derivada da função seno

$[Sen(u)] ' = Cos(u).u'$ (Sendo "u" uma função.)

2) Derivada da função cosseno.

$[Cos(u)]' = -Sen(u).u'$

3) Regra do produto.

$[f.g]' = f'.g + f.g'$

Item A. derivada em $x = \pi$.

$f(x) = x.Sen(2.x)$.

Derivando

$f'(x) = x'.Sen(2.x) + x.(Sen(2.x))'$ ( regra do produto )

$f'(x) = 1.Sen(2.x) + x.Cos(2.x).2$

trocando  $x = \pi$.  

$f'(\pi) = Sen(2.\pi) + \pi.Cos(2.\pi).2$

Lembrando que $Sen(2.\pi) = 0$ , $Cos(2\pi) = 1$, portanto :

$f'(\pi) = 0 + 2.\pi.1$

$f'(\pi) = 2.\pi$

Item B. Derivada de terceira ordem. Então vamos derivar 3 vezes a função.

$f(x) = Cos(2.x)$

Derivando

$f'(x) = -Sen(2.x). 2$

$f'(x) = -2.Sen(2x)$

Derivando de novo.

$f''(x) = -2.Cos(2x).2$

$f''(x) = -4.Cos(2.x)$

Derivando de novo.

$f'''(x) = -4.(-Sen(2x).2)$

$f'''(x) = 8.Sen(2x)$

(pronto, essa é a derivada de terceira ordem ).