Question

A base do cone esta contida no plano alfa de equação x+2y-2z=11
O vértice V do cone tem coordenadas (1,2,6)
O ponto C é o centro da base do cone.

Determina uma equação do plano que contem o vértice do cone e que é paralelo ao plano alfa.

Answer 1

Temos o plano $\alpha : x+2y-2z=11$ e queremos encontrar a equação de um plano $\beta$, paralelo a $\alpha$, que contenha o vértice $V(1,2,6)$ do cone em questão.

Nota-se que, qualquer plano $\beta$ cuja equação possa ser escrita na forma

$\beta : x+2y-2z=k\text{, com }k \neq 11$

é um plano paralelo a $\alpha$, pois o sistema

$\left\{\begin{matrix} \alpha : x+2y-2z & =11\\ \beta: x+2y-2z & =k \end{matrix}\right.$

é impossível para $k \neq 11$. Então, o plano procurado é

$\beta : x+2y-2z=k\text{, com }k \neq 11$

Como o vértice $V(1,2,6)$ do cone pertence ao plano $\beta$, então as coordenadas de $V$ devem satisfazer a equação de $\beta$.
Substituindo as coordenadas de $V$ na equação de $\beta$, temos

$\left(1 \right )+2 \cdot \left(2 \right )-2 \cdot \left(6 \right )=k\\ \\ 1+4-12=k\\ \\ k=-7$

Logo, a equação do plano $\beta$ é

$\beta : x+2y-2z=-7$