Question

A areia que vaza de um depósito forma uma pilha cônica cuja altura é sempre igual ao raio da base. Se a altura da pilha aumenta à razão de 10 cm/min determine a taxa à qual a areia está se escoando quando a altura da pilha é 20 cm.
Volume do cone = $\frac{ \pi r^{2}h }{3}$

Answer 1

Temos que:

R = h

então nosso volume fica:

V = pi*h^(2)*h/3

V = pi*h^(3)/3


Dessa forma, teremos que derivar em relação ao tempo.

dv/dt = pi*3h^(3-1)/3*dh/dt

dv/dt = pi*h^(2)*dh/dt

Quando h = 20
dh/dt = 10cm/min


dv/dt = pi*20^(3)*10cm/min

dv/dt = pi*8000*10cm/min

dv/dt = 80.000pi*cm^(3)/min

Colocando em notação cientifica:

dv/dt = 8*10^(4)pi*cm^(3)/min