Question

A área sombreada no gráfico abaixo é limitada superiormente pela função y = 12- ln (x) / x^2, interiormente pelo eixo das abscissas ( y = 0 ) e, lateralmente, pelo intervalo 1 ≤ x ≤ 4. Determine está área, em metros quadrados,e aproxime o resultado final com duas casas decimais.

Answer 1

A área sombreada é dada pela integral definida da função:

$y = \frac{121.ln(x)}{x^2}$

Nos limites de integração: 1 a 4. Logo:

$\int^4_1\frac{121.ln(x)}{x^2}{~}dx =\\\\ 121.\int^4_1\frac{ln(x)}{x^2}{~}dx =~~[por~partes]\\\\\\\begin{cases}u = ln(x) \Rightarrow du = \frac{1}{x}dx\\ dv = \frac{1}{x^2}dx \Rightarrow v = -\frac{1}{x}\end{cases}\\\\\\121.([ln(x).\frac{-1}{x}] |^4_1 - \int^4_1 \frac{-1}{x}.\frac{1}{x}dx) = \\\\121.([ln(4).\frac{-1}{4} + (ln(1)] - \frac{1}{x} |^4_1) = \\\\121.([\frac{-ln(4)}{4}] + \frac{-1}{4} + 1) = \\\\121.(\frac{-ln(4)-1+4}{4}) = \\\\\boxed{\frac{121.(-ln(4)+3)}{4}} \approx 48,81$