Question

A área, em unidades de área, do quadrilátero de vértices A(0,0), B(3,1), C(5,3), D(0,3) é

Answer 1

Olá, bom dia ◉‿◉.

Bem semelhante ao cálculo da área de um triângulo através de vértices, temos que montar dois DETERMINANTES.

• Um para ABC

• Um para ACD

A estrutura dos DETERMINANTES é igual a:

$ABC \rightarrow \begin{bmatrix}xa&ya&1 \\ xb&yb&1 \\ xc&yc&1\end{bmatrix} \\ \\ ACD \rightarrow \begin{bmatrix}xa&ya&1 \\ xc&yc&1 \\ xd&yd&1\end{bmatrix}$

Vamos identificar os valores de Xa, ya.....

$\begin{cases}A(0,0) \rightarrow xa = 0 \: \: \: \: \: ya = 0\\ B(3,1) \rightarrow xb = 3 \: \: \: \: \: yb = 1 \\ C(5,3) \rightarrow xc = 5 \: \: \: \: \: yc = 3\\ D(0,3) \rightarrow xd = 0 \: \: \: \: yd = 3\end{cases}$

Agora vamos calcular os DETERMINANTES:

I) Determinante ABC:

$\begin{bmatrix}0&0&1 \\ 3&1&1 \\ 5&3&1\end{bmatrix}. \begin{bmatrix}0&0 \\ 3&1 \\ 5&3\end{bmatrix} \\ \\ 0.1.1 + 0.1.5 + 1.3.3 - (5.1.1 + 3.1.0 + 1.3.0) \\ 0 + 0 + 9 - (5 + 0 + 0) \\ 9 - (5) \\9 - 5 \\ \boxed{ D_{ABC} = 4}$

II) Determinante ACD:

$\begin{bmatrix}0&0&1 \\ 5&3&1 \\ 0&3&1\end{bmatrix}. \begin{bmatrix}0&0 \\ 5&3 \\ 0&3\end{bmatrix} \\ \\ 0.3.1 + 0.1.0 + 1.5.3 - (0.3.1 + 3.1.0 + 1.5.0) \\ 0 + 0 + 15 - (0 + 0 + 0) \\ \boxed{D_{ACD} = 15}$

Agora vamos substituir na fórmula:

$A = \frac{1}{2} .( | D_{ABC} | + | D_{ACD}| ) \\ \\ A = \frac{1}{2} .( |4| + |15| ) \\ \\ A = \frac{1}{2} .(4 + 15) \\ \\ A = \frac{1}{2} .19 \\ \\ A = \frac{19}{2} \\ \\ \boxed{A = 9,5 \: u.a}$

Espero ter ajudado

Bons estudos ♥️