A área do triângulo determinado pelo eixo das abscissas e pelas retas 2y=x e y=-x+a, onde é um número real positivo, é 24. Qual o valor de a?
Soluções para a tarefa
Resposta:
Explicação passo-a-passo:
Esboçar os gráficos das duas equações, lembrando que retas decrescentes tem coeficiente angular negativo.
O valor de a é 12.
Vamos construir as duas retas no plano cartesiano.
A reta 2y = x é a mesma que y = x/2.
Perceba que ela passa na origem.
A reta y = -x + a intercepta o eixo das abscissas no ponto (0,a).
Vamos verificar qual é o ponto de interseção entre as duas retas.
Para isso, vamos igualar as duas equações:
x/2 = -x + a
x/2 + x = a
3x/2 = a
x = 2a/3.
Logo,
y = 2a/3.1/2
y = a/3.
O ponto de interseção entre as duas retas é (2a/3,a/3).
Observe a figura abaixo. Temos o triângulo ABC, sendo AD a altura do mesmo.
Sabemos que a área de um triângulo é igual à metade do produto da base pela altura.
A base do triângulo é BC, ou seja, BC = a. A altura do triângulo é igual a coordenada y do ponto de interseção, ou seja, AD = a/3.
Como a área é igual a 24, então:
24 = a.a/3.1/2
24 = a²/6
a² = 144
a = 12.
