Question

A área do triangulo ABC, de altura h= 2, sendo X=30 e y=45 é igual a

Answer 1

$\large \text {\sf A \'area do tri\^angulo \'e:} \quad \large \sf \dfrac {1}{6} \left( 2 \sqrt 3 + 6\right) \qquad (Alternativa \ B)$

• Se h é altura do triângulo então no ponto H há dois ângulos retos. Pode-se portanto aplicar as razões trigonométricas no triângulo retângulo.

$\large \sf tangente = \dfrac{cateto \ oposto}{cateto \ adjacente}$

• Considere n o segmento AH e m o segmento HB.
• No triângulo CHB:

$\large \sf tg \ 45 ^\circ = \dfrac{m}{h}$

m = h ⋅ tg 45° ⟹ Sendo tg 45° = 1, substitua.

m = h ①

• No triângulo CAH:

$\large \sf tg \ 30 ^\circ = \dfrac{n}{h}$

$\large \sf n = h \cdot tg 30^\circ \quad \Longrightarrow \quad Sendo \ tg \ 30 ^\circ = \dfrac{\sqrt 3}{3}, \ substitua.$

$\large \sf n = h \cdot \dfrac{\sqrt 3}{3}$  ②

• A área do triângulo é obtida por:

$\large \sf A = \dfrac{b \times h}{2}$   onde:

b: base do triângulo (n + m) ③.

h: altura do triângulo.

• Substitua as equações ①, ② e ③ na fórmula da área.

$\large \sf A = \dfrac{(n + m) \times h}{2}$

$\large \text { \sf A = \dfrac{\left(h \cdot \dfrac {\sqrt 3}{3} + h \right) \times h}{2} }$   ⟹ Fatore (fator comum em evidência).

$\large \text { \sf A = \dfrac{\left(\dfrac {\sqrt 3}{3} + 1 \right) \times h^2}{2} }$  ⟹ Execute a divisão por 2.

$\large \sf A = \left(\dfrac {\sqrt 3}{6} + \dfrac {1}{2} \right) \times h^2$  ⟹ Substitua h por √ ̅2̅ .

$\large \sf A = \left(\dfrac {\sqrt 3}{6} + \dfrac {1}{2} \right) \times \left(\sqrt {2} \right)^2$

$\large \sf A = \left(\dfrac {\sqrt 3}{6} + \dfrac {1}{2} \right) \times 2$

$\large \sf A = \left(\dfrac {\sqrt 3}{3} + 1 \right)$

• Observe que:

$\large \sf \dfrac {1}{6} \left( 2 \sqrt 3 + 6\right) = \left(\dfrac {2 \sqrt 3}{6} + \dfrac {6}{6} \right) = \left(\dfrac {\sqrt 3}{3} + 1 \right)$

Resposta: Alternativa B.

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