Question

a área de um triângulo equilátero vale 2raiz de 3, determine sua altura

Answer 1

Sabemos que a fórmula da área do triângulo equivale a: $A = \frac{b.h}{2}$, onde b = base; h = altura; no entanto, temos duas incógnitas nesta fórmula: b e h. Por se tratar de um triângulo equilátero, podemos dividi-lo ao meio (como em anexo) e usarmos, para encontrar a altura (h), a fórmula de Pitágoras: hipotenusa² = (cateto a²) + (cateto b)². Teremos:
hipotenusa = lado (l)
cateto a = altura (h) 
cateto b = metade do lado ($\frac{l}{2}$)

$l^{2} = h^{2} + \(frac{l}{2}^{2})$
$l^{2} = h^{2} + \frac{l^{2}}{4}$
$-h^{2} = -l^{2}+\frac{l^{2}}{4}$
$h^{2} = l^{2} - \frac{l^{2}}{4}$
$h^{2} = \frac{4.l^{2}-l^{2} }{4}$
$h^{2} = \frac{3l^{2} }{4}$
$\sqrt{h^{2} } = \sqrt{ \frac{3l^{2}}{4} }$
$h = \frac{l \sqrt{3} }{2}$

Com base na medida da altura (h) calculada, iremos descobrir a base (a qual é equivalente ao lado) do triângulo equilátero substituindo na fórmula da área antes citada:
A = 2√3
b = lado (l)
h = $\frac{l \sqrt{3} }{2}$

$A = \frac{b.h}{2}$
$2\sqrt{3} = \frac{l.(\frac{l \sqrt{3} }{2})}{2}$
$2 \sqrt{3} = l. \frac{l \sqrt{3} }{2} . \frac{1}{2}$
$2 \sqrt{3} = \frac{ l^{2} \sqrt{3} }{4}$
$8 \sqrt{3} = l^{2} \sqrt{3}$
$l^{2} = \frac{8 \sqrt{3} }{ \sqrt{3} }$
$l^{2} = 8$
$l = \sqrt{8}$


E, finalmente, encontramos o valor da altura:
$h = \frac{l \sqrt{3} }{2}$
$h = \frac{\sqrt{8} \sqrt{3} }{2}$
$h = \frac{\sqrt{8.3}}{2}$
$h = \frac{\sqrt{24}}{2}$
$h = \sqrt{12}$

O triângulo equilátero com valor de área = 2√3 tem altura equivalente a √12.