Question

A área de um hexágono regular é 54√3 cm. calcule a medida doa área de um hexágono regular é 54√3 cm. calcule a medida do raio da circunferência inscrita a este hexágono

Preciso rápido me expliquem por favor!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 1

$A=54\sqrt{3}~cm^{2}$

A área de um hexágono regular pode ser calculada por:

$A=\dfrac{l^{2}\sqrt{3}}{4}$

$l^{2}\sqrt{3}/4=54\sqrt{3}\\l^{2}/4=54\\l^{2}=54*4\\l^{2}=216\\l=\sqrt{216}\\l=\sqrt{36*6}\\l=\sqrt{36}*\sqrt{6}\\l=6\sqrt{6}~cm$
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Veja a imagem do hexágono

O diâmetro dessa circunferência é a soma da medida de 2 alturas do triângulo equilátero (todos os 6 triângulos que formam o hexágono regular são equiláteros). Como essas alturas são iguais:

$d=2h\\2r=2h\\r=h$

Agora, veja na mesma imagem um triângulo desses destacados.

Pelo fato de ser equilátero, os seus 3 ângulos medem 60º, e os 3 lados tem a mesma medida: a medida do lado do hexágono

Fazendo o seno de um dos ângulos de 60º:

$sen~60\º=\dfrac{h}{6\sqrt{6}}\\\\\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{h}{6\sqrt{6}}\\\\\dfrac{\sqrt{3}}{1}=\dfrac{h}{3\sqrt{6}}\\\\\sqrt{3}*3\sqrt{6}=h\\h=3\sqrt{3*6}\\h=3\sqrt{18}\\h=3\sqrt{9*2}\\h=\sqrt{9}*\sqrt{2}\\h=3*3*\sqrt{2}\\h=9\sqrt{2}$

Como r = h:

$\boxed{\boxed{r=9\sqrt{2}~cm}}$