Question

A antiderivada de √(1 - x)/x.​

Answer 1

Temos a seguinte integral:

$\int \frac{ \sqrt{1 - x} }{x} dx$

Para resolver essa integral, vamos usar o método da substituição. A função a ser derivada será u = √(1 - x), pois caso a função escolhida fosse u = x, estaríamos apenas substituindo x por u e não fazendo alteração alguma na integral. Derivando a função escolhida, temos:

$u = \sqrt{1 - x} \to \frac{du}{dx} = - \frac{1}{2 \sqrt{1 - x} } \to - 2 \sqrt{1 - x} du = dx$

Substituindo as decorrências de "u":

$\int \frac{u.( - 2 \sqrt{1 - x}du )}{x} \to - 2 \int \frac{u \sqrt{1 - x} \: du}{x}$

Pelo que eu disse u = √(1-x), então podemos isolar o x e colocamos em função de u:

$u = \sqrt{1 - x} \: \: \to \: \: u {}^{2} = 1 - x \to x = 1 - u {}^{2}$

Substituindo essa informação:

$- 2 \int \frac{u. \sqrt{1 - x} \: du}{1 - u {}^{2} }$

Observe que ainda há um intruso dentro da integral que é o √1 - x, mas se você observar eu falei mais acima que √1 - x = u, então:

$- 2 \int \frac{u.u \: du}{1 - u {}^{2} } \to - 2 \int \frac{u {}^{2} }{1 - u {}^{2} } du$

Agora vamos ter que fazer uma divisão polinomial na fração da integral e reescrevê-la de outra forma:

$\: \: \: \: \: u {}^{2} \: \: \: \: \: \: \: \: | \: \: - u {}^{2} + 1 \\ - u {}^{2} + 1 | - 1 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ 0 + 1 | \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Agora podemos escrever aquela expressão de acordo com o quociente subtraído do resto dividido pelo divisor:

$- 1 + \frac{1}{ - u {}^{2} + 1}$

Rescrevendo na integral:

$- 2\int - 1 + \frac{1}{1 - u {}^{2} } \: du \\ \\ - 2 \int - 1du - 2 \int \frac{1}{1 - u {}^{2} } du \\ \\ 2 \int du - 2 \int \frac{1}{ 1 - u {}^{2} } du \\ \\ 2u - 2 \int \frac{1}{1 - u {}^{2} } du$

Aquela integral restante por der resolvida por frações parciais:

$2u - 2 \int \frac{1}{(1 + u).(1 - u)}du$

Por frações parciais, temos:

$\frac{1}{(1 + u).(1 - u)} = \frac{a}{1 + u} + \frac{b}{1 - u} \\ \\ \frac{1}{(1 + u).(1 - u) } = \frac{a.(1 - u) + b.(1 + u)}{(1 + u).(1 - u)} \\ \\ \frac{1}{ \cancel{( 1 + u).(1 - u)}} = \frac{a - au + b + bu}{ \cancel{(1 + u).(1 - u)}} \\ \\ a - au + b + bu = 1 + 0.u \\ \\ \begin{cases}a + b = 1 \\ - au + bu = 0.u \end{cases} \to \begin{cases}a + b = 1 \\ - a + b = 0\end{cases} \\ \\ a - a + b + b = 1 + 0 \\ 2b = 1 \to b = \frac{1}{2} \\ \\ a + b = 1 \to a + \frac{1}{2} = 1 \\ a = - \frac{1}{2}$

Substituindo o valor de a e b:

$2u - 2\int \frac{ - \frac{1}{2} }{1 + u} + \frac{ \frac{1}{2} }{1 - u} \: du \\ \\ 2u - 2 \left( \int \frac{ - \frac{ 1}{2} }{1 + u} + \int \frac{ \frac{1}{2} }{1 - u} \right) \\ \\ 2u - 2\left( - \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + u} du + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - u}du \right) \\ \\ 2u + \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 + u} du - \frac{2}{2} \int \frac{1}{1 - u} du \\ \\ 2u + \ln( |1 + u| ) - \ln( |1 - u| ) + k$

Repondo as decorrências de u:

$\boxed{2.( \sqrt{1 - x} ) + \ln(|1 + \sqrt{1 - x}| ) - \ln(|1 - \sqrt{1 - x} |) + k, \: k\in\mathbb{R} }$

Espero ter ajudado