Question

Como resolver a questão abaixo?

Answer 1

Veja que há uma equação da circunferência:

x ² + y ² = 4

Centro (0;0) e raio = 2

Veja que há uma equação da parábola:

y = 4x ² -2

Δ = 0 ² -4.4.-2 = 32

x = (0 ± √32)/2.4

x = ± √32/8 = √16.2 /8 = 4 √2 / 8 = √2/2

Raízes opostas + √2/2 e - √2/2

yv = - Δ/4a = -32/4.4 = -32/16 = -2

xv = -b/2a = 0/2.4 = 0

Vértice (0,-2)

...

Perceba que a parábola intersecta (“toca”) a circunferência em três pontos:

(Gráfico anexo)

Para achar um outro ponto manipule o sistema:

y ² = 4 - x ²

...

y = 4x ² -2 ⇒

(y) ² = (4x ² -2) ² ⇒

y ² = 16x ⁴ -16x ² +4

...

Igualando:

4 -x² = 16x ⁴ - 16x ² +4

0 = 16x ⁴ -15x ²

0 = x ². (16x ² -15)

x ² = 0 ou 16x ² -15 =0

16x ² = 15

x ² = 15/16

x = √(15/16) ⇒ x = (√15)/4

...

Para achar a ordenada(y) dessa abscissa(x) Substitua:

4.(√15/4) ² -y = 2

4.(15/16) -y = 2

15/4 -y = 2

y = 15/4 -2 ⇒ y = 15/4 -8/4 ⇒ y = 7/4

... ∴ O outro ponto é P ( √15/4 ; 7/4)

Como a parábola tem concavidade para cima, e é simétrica pelo eixo Oy, então o outro ponto será P’ ( -√15/4 ; 7/4)

Basta achar a distância entre eles:

dPP’ = √ [(-√15/4 - √15/4) ² + (7/4-7/4) ²]

dPP’ = √ (-2 √15/4) ²

dPP’ = √(15/4)

dPP’ = (√15)/2

Resposta C)

PS: desculpe pela parábola mal desenhada... ela toca só um ponto em (0:-2)