Como resolver a questão abaixo?
Soluções para a tarefa
Veja que há uma equação da circunferência:
x ² + y ² = 4
Centro (0;0) e raio = 2
Veja que há uma equação da parábola:
y = 4x ² -2
Δ = 0 ² -4.4.-2 = 32
x = (0 ± √32)/2.4
x = ± √32/8 = √16.2 /8 = 4 √2 / 8 = √2/2
Raízes opostas + √2/2 e - √2/2
yv = - Δ/4a = -32/4.4 = -32/16 = -2
xv = -b/2a = 0/2.4 = 0
Vértice (0,-2)
...
Perceba que a parábola intersecta (“toca”) a circunferência em três pontos:
(Gráfico anexo)
Para achar um outro ponto manipule o sistema:
y ² = 4 - x ²
...
y = 4x ² -2 ⇒
(y) ² = (4x ² -2) ² ⇒
y ² = 16x ⁴ -16x ² +4
...
Igualando:
4 -x² = 16x ⁴ - 16x ² +4
0 = 16x ⁴ -15x ²
0 = x ². (16x ² -15)
x ² = 0 ou 16x ² -15 =0
16x ² = 15
x ² = 15/16
x = √(15/16) ⇒ x = (√15)/4
...
Para achar a ordenada(y) dessa abscissa(x) Substitua:
4.(√15/4) ² -y = 2
4.(15/16) -y = 2
15/4 -y = 2
y = 15/4 -2 ⇒ y = 15/4 -8/4 ⇒ y = 7/4
... ∴ O outro ponto é P ( √15/4 ; 7/4)
Como a parábola tem concavidade para cima, e é simétrica pelo eixo Oy, então o outro ponto será P’ ( -√15/4 ; 7/4)
Basta achar a distância entre eles:
dPP’ = √ [(-√15/4 - √15/4) ² + (7/4-7/4) ²]
dPP’ = √ (-2 √15/4) ²
dPP’ = √(15/4)
dPP’ = (√15)/2
Resposta C)
PS: desculpe pela parábola mal desenhada... ela toca só um ponto em (0:-2)
