A ampulheta é um dos mais antigos instrumentos utilizados para medir o tempo. Ela consiste em dois recipientes transparentes que se unem por meio de um pequeno orifício, por onde a areia que está no recipiente superior escorre para o inferior a uma vazão constante.
O período marcado corresponde ao tempo necessário para que toda a areia de um recipiente desça para o outro. A ampulheta representada a seguir é formada por dois cones idênticos, e a
quantidade de areia no seu interior corresponde a 30% da capacidade de um desses cones. Para que toda a areia escoe de um cone para outro são necessários 30 minutos.
A ampulheta representada a seguir é formada por dois cones idênticos, e a
quantidade de areia no seu interior corresponde a 30% da capacidade de um desses cones. Para que toda a areia escoe de um cone para outro são necessários 30 minutos.
a) Qual é o volume de areia, em centímetros cúbicos, no interior da ampulheta?
b) Quantos centímetros cúbicos de areia são necessários acrescentar na ampulheta para que ela registre períodos de 40 minutos?
Soluções para a tarefa
r = 6/2
r = 3 cm de raio
a altura de apenas um cone ...
20/2 = 10 cm é a altura
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a)
Basta calcular o volume do cone ...
V = (π.r².h)/3
V = (π.3².10)/3
V = (π.9.10)/3
V = 90π/3
V = 30 π cm³
como a areia é apenas 30 % ...
100 % ------ 30 π
30 % ------- x
100x = 30 . 30π
x = 900π/100
x = 9π cm³ é o volume da areia
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b) 40%
regra de 3 ...
30 ----- 9π
40 ----- x
30x = 9π.40
x = 9.4/3
x = 3.4
x = 12 π cm³ para 40 %
12π - 9π = 3π cm³ deverá ser acrescentado. ok
a) O volume de areia no interior da ampulheta é 27 cm³.
b) São necessários acrescentar 9 cm³ para que o tempo seja de 40 minutos.
Cálculo de volumes
O volume de um corpo ou sólido é definido com a quantidade de espaço que este ocupa. O volume de um cone é dado pela seguinte fórmula:
V = (1/3)·πr²h
Sabemos que a altura da ampulheta é de 20 cm e que o diâmetro dos cones é 6 cm, então a altura e raio de cada cone medem 10 cm e 3 cm, respectivamente.
Seja π = 3, o volume de cada cone é:
V = (1/3)·10·3·3²
V = 90 cm³
a) O volume de areia é 30% do volume de cada cone, logo:
V(areia) = 30% · 90 cm³
V(areia) = 27 cm³
b) Se 27 cm³ correspondem a 30 minutos, então pela regra de três:
27 cm³ ⇔ 30 minutos
x cm³ ⇔ 40 minutos
30x = 27·40
x = 1080/30
x = 36 cm³
Deve-se adicionar 36 - 27 = 9 cm³ de areia.
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