Question

A altura relativa à hipotenusa de um triângulo retângulo mede 4,8m e a hipotenusa mede

10m. Quais os valores dos seus catetos:

a) 5 e 7

b) 6 e 8

c) 5 e 5

d) 5 e 6

e) 6 e 7​

Answer 1

Considere o triângulo retângulo da figura anexa:

• A área de um triângulo retângulo pode ser calculada de duas formas:

$\large \sf A = \dfrac{a \times h}{2} \qquad ou \qquad A = \dfrac{b \times c}{2}$

• O dobro da área é:

2A = a × h  ou  2A = b × c

• Se 2A = 2A então:

a × h = b × c ⇒ Substitua o valor de a e h.

10 × 4,8 = bc

bc = 48 ①

$\large \sf b = \dfrac{48}{c}$

• Aplicando o teorema de Pitágoras:

a² = b² + c²

10² = b² + c²

b² + c² = 100 ⇒ Substitua o valor de b.

$\large \sf \dfrac{48^2}{c^2} + c^2 = 100$  ⇒ Multiplique ambos os membros por c².

48² + c⁴ = 100⋅c²

c⁴ − 100⋅c² + 48² = 0 ⇒ Considere x = c²

x² − 100x + 48² = 0

• Solucionando essa equação do segundo grau obtém-se:

x = 36 ou x = 64

para x = 36 ⇒ x = c² ⇒ 36 = c² ⇒ c = 6

para x = 64 ⇒ x = c² ⇒ 64 = c² ⇒ c = 8

• Substitua o valor de c na equação ①.

para c = 6  ⇒ bc = 48 ⇒ b⋅6 = 48 ⇒ b=8

para c = 8  ⇒ bc = 48 ⇒ b⋅8 = 48 ⇒ b=6

Observe que foram obtidas duas respostas que se traduz na verdade pela troca de lados dos catetos maior e menor.

Resposta: Os catetos medem 6m e 8m.

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