Question

A altura relativa à hipotenusa de um triangulo retangulo mede 4,8 m e a hipotenusa mede 10 m. Calcule a medida dos catetos.

Answer 1

Oi Gabriela, como vai?

Utilizaremos duas relações importantes para essa resolução.

A primeira é a relação que nos diz: "O produto dos catetos é igual ao produto da hipotenusa pela altura relativa à ela".
Chamando os catetos de "c" e "b", a altura relativa de "h" e a hipotenusa de "a", isto significa:
$b*c = a*h$

A segunda relação é o teorema de Pitágoras:
$a^2 = b^2+c^2$

Aplicando a primeira relação, temos:
$b*c = 10*4,8 \\ b*c = 48 \\ \\ \boxed{ b=\frac{48}{c}}$

Com esse valor parcial de b, podemos formar o teorema de Pitágoras:
$10^2 = c^2+ (\frac{48}{c})^2 \\ \\ 100 = c^2 + \frac{2304}{c^2} \\ \\ 100 = \frac{c^4+2304}{c^2} \\ \\ 100c^2 = c^4+2304 \\ \\ c^4-100c^2+2304=0$

Fazendo c² = x, encontramos:
$c^4-100c^2+2304=0 \\ \\ (c^2)^2-100c^2+2304=0 \\ \\ x^2 -100c+2304=0$

Note que chegamos numa equação do segundo grau, que podemos resolver pelo método tradicional de Bháskara:
$x^2 -100c+2304=0 \\ \\ \Delta = 10000-4(1)(2304) \\ \Delta = 10000-9216 \\ \Delta = 784 \\ \\ x' = \frac{100+28}{2}=64 \\ \\ x'' = \frac{100-28}{2}=36$

Como fizemos c² = x, podemos por fim encontrar os valores de c desfazendo a relação:
$c^2 = x \\ c^2 = 64 \\ \boxed{c = 8} \\ \\ c^2 = x \\ c^2 = 36 \\ \boxed{c = 6}$

Como, nessa situação c representa duas possibilidades de catetos, concluímos que os catetos medem 6m e 8m.

Bons estudos!