Question

A altura h de um paralelepípedo retângulo mede 60 cm, sendo a sua base um quadrado. A diagonal do paralelepípedo forma um ângulo de 60° com o plano da base. Determine o volume do paralelepípedo retângulo.

Answer 1

Como é possível ver na figura, forma-se um triângulo retângulo de ângulos conhecidos a partir da diagonal do paralelepípedo


1º Vamos descobrir a diagonal da base a partir da relação tangente


tg 60º = √3

$\mathsf{tg\ \theta=\dfrac{c.o.}{c.a.}}\\\\\\ \mathsf{\sqrt{3}=\dfrac{60}{d}}\\\\\\ \mathsf{d=\dfrac{60}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\dfrac{60\sqrt{3}}{3}}\\\\\\ \mathsf{d=20\sqrt{3}\ cm}$



2º Com a diagonal da base, podemos descobrir a área da base pelo Teorema de Pitágoras


$\mathsf{l^{2}+l^{2}=d^{2}}\\\\\\ \mathsf{2l^{2}=(20\sqrt{3})^{2}}\\\\\\ \mathsf{l^{2}=\dfrac{400\cdot 3}{2}}\\\\\\ \mathsf{l^{2}=600\ cm^{2}}\\\\\\ \mathsf{A_{b}=600\ cm^{2}}$



3º Agora podemos calcular o volume do sólido, uma vez que a altura já foi dada h = 60 cm


$\mathsf{V=A_{b}\cdot H}\\\\ \mathsf{V=600\cdot 60}\\\\ \boxed{\mathsf{V=36000\ cm^{3}}}$



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Bons estudos! :)