Question

a altura de um triângulo está aumentando a uma taxa de 1cm/min enquanto que a área do triângulo está aumentando a uma taxa de 2cm²/min. A que taxa a base do triângulo esta variando quando a altura for 10cm e a área for 100cm²?

Answer 1

Vamos anotar os dados.

A variação da altura = dh

A variação do tempo = dt

dh/dt = 1cm/min

A variação da área = dA

A variação do tempo = dt

dA/dt = 2cm²/min

Queremos saber a variação da base (db/dt)

Sabido isso, bora achar uma equação que relaciona todos os termos.

A = bh/2

Derivamos de ambos os lados.

A' = (bh/2)'

A' = 1/2(bh)'

2 = 1/2(bh'+b'h)

4 = bh' +hb'

4 = b + hb'

4-b/h = b'

Sendo b = 2A/h

(4-2A/h)/h = b'

A = 100

h = 10

4-2.100/10/10 = b'

4-2.10/10 = b'

4-20/10 = b'

-16/10 = b'

-8/5 = b'

A variação, pelos meus cálculos, deu -1,6cm/min

Answer 2

$B=\dfrac{2A}{h}=\dfrac{2.100}{10}=20cm$

$\mathsf{A=\dfrac{1}{2}.B.H}\\\mathsf{\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{1}{2}.(\dfrac{dB}{dt}.H+B.\dfrac{dH}{dt}}\\\mathsf{2=\dfrac{1}{2}(\dfrac{dB}{dt}.10+20.1}$

$\mathsf{4=10\dfrac{dB}{dt}+20}\\\mathsf{10\dfrac{dB}{dt}=4-20}\\\mathsf{10\dfrac{dB}{dt}=-16}\\\mathsf{\dfrac{dB}{dt}=-\dfrac{16\div2}{10\div2}}$

$\large\boxed{\boxed{\boxed{\mathsf{\dfrac{dB}{dt}=-\dfrac{8}{5}cm/min}}}}$