Question

A altura (altitude) de um terreno é dada por LaTeX: h=h(x,y)h=h(x,y), em que LaTeX: hh é expressa em metros e LaTeX: x\,\, e\,\, yxey são as coordenadas (latitude e longitude) do ponto no solo. Um animal se desloca sobre essa superfície seguindo a curva LaTeX: \gamma(t)=(2t^3-1,\,\,2+t^2)γ(t)=(2t3−1,2+t2). Sabe-se que LaTeX: \frac{\partial h}{\partial x} (1,3)=4&partial;h&partial;x(1,3)=4 e LaTeX: \frac{\partial h}{\partial y} (1,3)=-3&partial;h&partial;y(1,3)=−3. Determine se, no instante LaTeX: t=1t=1, o animal está subindo ou descendo.

Answer 1

Como o animal se desloca segundo a curva parametrizada por

$\gamma(t) = (2t^3-1,2+t^2),$

a sua velocidade é:

$v(t) = \dfrac{\textrm{d}\gamma}{\textrm{d}t} = (6t^2,2t).$

Em particular, no instante$t=1$, o animal encontra-se no ponto:

$\gamma (1) = (1, 3)$ com velocidade $v(1) = (6,2)$.

A direção de maior crescimento do terreno no ponto $(1,3)$ é dada pelo gradiente de $h$:

$\nabla h(1,3) = \left(\dfrac{\partial h}{\partial x}(1,3),\dfrac{\partial h}{\partial y}(1,3)\right) = (4,-3)$

Portanto, podemos saber se o animal está a subir ou a descer calculando o produto interno:

$v(1) \cdot \nabla h(1,3) = (6,2) \cdot (1,3) = 6 + 6 = 12 > 0.$

Assim, a projeção da velocidade na direção de maior crescimento tem valor positivo, pelo que o animal está a subir nesse instante.