Question

A alternativa que corresponde a solução de integral com 1 subscrito com 4 sobrescrito abre parênteses numerador 2 x ao quadrado mais x ao quadrado raiz quadrada de x mais 1 sobre denominador x ao quadrado fim da fração fecha parênteses d x é:

Answer 1

A alternativa que corresponde a solução da integral dada é $\frac{137}{12}$.

Primeiramente, vamos reescrever a função $\frac{2x^2 + x^2\sqrt{x}+1}{x^2}$. Note que podemos escrever essa função da seguinte forma: $\frac{2x^2}{x^2}+\frac{x^2\sqrt{x}}{x^2}+\frac{1}{x^2}$, ou seja, fazendo as simplificações, encontramos $2 + \sqrt{x}+\frac{1}{x^2}$.

Feito isso, devemos resolver a integral definida $\int\limits^4_1 {2+\sqrt{x}+\frac{1}{x^2}} \, dx$.

Para isso, lembre-se que:

• A integral de √x é $\frac{2\sqrt{x^3}}{3}$;
• A integral de $\frac{1}{x^2}$ é $-\frac{1}{x}$.

Assim, encontramos o resultado abaixo:

$\int\limits^4_1 {2+\sqrt{x}+\frac{1}{x^2}} \, dx = 2x + \frac{2\sqrt{x^3}}{3}-\frac{1}{x}$.

Como a integral é definida, então vamos substituir os limites de integração. Devemos substituir o limite superior e subtrair pela substituição do limite inferior:

$\int\limits^4_1 {2+\sqrt{x}+\frac{1}{x^2}} \, dx = 2.4 + \frac{2\sqrt{4^3}}{3}-\frac{1}{4}-(2.1+\frac{2\sqrt{1^3}}{3}-\frac{1}{1})$

$\int\limits^4_1 {2+\sqrt{x}+\frac{1}{x^2}} \, dx = 8 + \frac{16}{3}-\frac{1}{4}-2-\frac{2}{3}+1$

$\int\limits^4_1 {2+\sqrt{x}+\frac{1}{x^2}} \, dx = 7 + \frac{14}{3}-\frac{1}{4}$

$\int\limits^4_1 {2+\sqrt{x}+\frac{1}{x^2}} \, dx = \frac{137}{12}$.

Portanto, podemos concluir que a quarta alternativa é a solução da integral definida dada.