Question

A abscissa do ponto P é -6 e sua distância ao ponto Q (1,3) é raiz de 74.
Determine a ordenada do ponto P.

Answer 1

OI Biel,

é o seguinte,
temos os seguintes dados:
 distância entre os dois pontos é $\sqrt{74}$
Q = (1,3)
P = (-6,y)

Sabendo que a fórmula da distância entre dois pontos é:

$\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

sendo:
$x_1$ a abscissa de Q
$y_1$ a ordenada de Q
e
$x_2$  a abscissa de P
$y_2$ a ordenada de P (a que queremos encontrar)

Substituindo os valores na fórmula ficaremos com:

distancia entre P e Q = $\sqrt{(-6 - 1)^2+(y_2-3)^2}$

$\sqrt{74} = \sqrt{(6-1)^2 + (y_2 - 3)^2}$

elevamos os dois lados da igualdade pra eliminarmos as raizes assim:

$(\sqrt{74} )^2 = (\sqrt{(-6 - 1)^2+(y_2-3)^2} )^2$

cortando as raizes com o expoente...

$(\sqrt{74} )^2 = (\sqrt{(-6 - 1)^2+(y_2-3)^2})^2$

$74 = (-6 - 1)^2+(y_2-3)^2$

$74} = (-7)^2+(y_2-3)^2$

$74 = 49 + (y_2 - 3)*(y_2 - 3)$

$74 = 49 +y^2-3y-3y+9$

$74 = 49+y^2-6y+9$

$74-49 -9= y^2-6y$

$16= y^2-6y$

$y^2-6y-16=0$

Agora resolve usando Bhaskara...

y ' = $\frac{-b+ \sqrt{b^2-4*a*c} }{2*a}$

substituindo os valores ficamos com:

y' = $\frac{-(-6)+ \sqrt{(-6)^2-4*1*(-16)} }{2*1}$

y' = $\frac{6+ \sqrt{36-(-64)} }{2}$

y' = $\frac{6+ \sqrt{100}}{2}$  y' = $\frac{6+10}{2}$ 
y' = $\frac{16}{2}$  y' = 8

e y'' = $\frac{6- \sqrt{100}}{2}$ y'' = $\frac{6-10}{2}$

y'' = $\frac{-4}{2}$ y'' = -2

P=(-6,8) ou P=(-6,-2)

Por fim podemos dizer que há dois valores pra ordenada do ponto P no qual possue abscissa igual a -6 e a distancia de P até Q é  raiz de 74.

Espero ter ajudado Biel, ;D

Answer 2

✅ Após resolver os cálculos, concluímos que os possíveis valores das ordenadas para o ponto "P" são, respectivamente:

            $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf y' = -2\:\:\:e\:\:\:y'' = 8\:\:\:}}\end{gathered} }$

Analisando o enunciado, podemos montar os seguintes dados:

                          $\Large\begin{cases}d_{\overline{PQ}} = \sqrt{74}\\P = (-6,\,y)\\ Q = (1, 3)\end{cases}$

Sabendo que a distância entre os pontos "P" e "Q" pode ser desenvolvida a partir da seguinte estratégia:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf I\end{gathered}$           $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} d_{\overline{PQ}} = \sqrt{(x_{Q} - x_{P})^{2} + (y_{Q} - y_{P})^{2}}\end{gathered} }$

Para facilitar os cálculos podemos inverter os membros da equação "I". Então, temos:

$\Large\displaystyle\begin{gathered} \bf II\end{gathered}$        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sqrt{(x_{Q} - x_{P})^{2} + (y_{Q} - y_{P})^{2}} = d_{\overline{PQ}}\end{gathered} }$

Substituindo os dados na equação "II", temos:

             $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \sqrt{(1 - (-6))^{2} + (3 - y)^{2}} = \sqrt{74}\end{gathered} }$

        $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} (\sqrt[\!\diagup\!\!]{(1 - (-6))^{2} + (3 - y)^{2}})^{\!\diagup\!\!\!\!2} = (\sqrt[\!\diagup]{74})^{\!\diagup\!\!\!\!2}\end{gathered} }$

                           $\Large\displaystyle\begin{gathered} (1 + 6)^{2} + (3 - y)^{2} = 74\end{gathered}$

                                        $\Large\displaystyle\begin{gathered} 7^{2} + (3 - y)^{2} = 74\end{gathered}$

                                $\Large\displaystyle\begin{gathered} 49 + 9 - 6y + y^{2} = 74\end{gathered}$

                     $\Large\displaystyle\begin{gathered} y^{2} - 6y + 49 + 9 - 74 = 0\end{gathered}$

                                         $\Large\displaystyle\begin{gathered} y^{2} - 6y - 16 = 0\end{gathered}$

Chegando na equação do segundo grau, devemos calcular as raízes. Então, temos:

     $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} y = \frac{-(-6)\pm\sqrt{(-6)^{2} - 4\cdot1\cdot(-16)}}{2\cdot1}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{6\pm\sqrt{36 + 64}}{2}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} = \frac{6\pm\sqrt{100}}{2}\end{gathered} }$

         $\Large\displaystyle\begin{gathered} = \frac{6\pm10}{2}\end{gathered}$

          $\Large\displaystyle\begin{gathered} = 3\pm5\end{gathered}$

Obtendo as raízes:

     $\Large\begin{cases} y' = 3 - 5 = -2\\y'' = 3 + 5 = 8\end{cases}$

Portanto, as ordenadas do ponto P pertencem ao seguinte conjunto solução:

            $\Large\displaystyle\begin{gathered} S = \{-2,\,8\}\end{gathered}$

✅ Desta forma, as possíveis coordenadas do ponto P são:

      $\Large\displaystyle\begin{gathered} P' = (-6,\,-2)\:\:\:e\:\:\:P'' = (-6,\,8)\end{gathered}$

$\LARGE\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$

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$\Large\displaystyle\text{ \begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Observe \:o\:Gr\acute{a}fico!!\:\:\:}}}\end{gathered} }$