Question

a) √75 = e) √800 =

b) √700 = f) √2700 =

c) √250 = g) √375 =

d) √256 = h) √200 =

​

Answer 1

Resposta:

$a) 5\sqrt{3}$              $b) 10\sqrt{7}$                 $c) 5\sqrt{10}$               $d) 16$             $e) 20\sqrt{2}$  

$f) 30\sqrt{3}$            $g) 5\sqrt{15}$                  $h) 10\sqrt{2}$

Explicação passo a passo:    

Para se simplificar e fazer operações com radicais tem que se ter em

consideração as seguintes regras:

Observação 1 → Elementos de um radical

Exemplo: $\sqrt[5]{11^{3} }$    

5 → é o índice   

11³ → é o radicando ( está dentro do sinal de radical) 

3 →  expoente do radicando

√    → símbolo de radical

Observação 2  → Simplificação de fatores do radicando

Colocar no radicando potências cujo expoente seja igual ao índice do

radical.

Exemplo:

$\sqrt[3]{2^{7} } =\sqrt[3]{2^3*2^3*2^1} =\sqrt[3]{2^3} *\sqrt[3]{2^3} *\sqrt[3]{2^1} =2*2*\sqrt[3]{2}$  

Observação 3 → Porque se pode simplificar potências num radicando?

Esta simplificação pode-se fazer porque a exponenciação e a

radiciação são operações inversas que se cancelam mutuamente quando

aplicadas ao mesmo tempo.

Exemplo :  $\sqrt[3]{2^3} =2$

Extrair a raiz quadrada de um número ao quadrado é o mesmo que nada se

faça.

Observação 4 → Produto de potência com a mesma base

Mantém-se a base e somam-se os expoentes:

Exemplo:

$2^3*2^3*2^1=2^{(3+3+1)} =2^7$

Observação 5 → Desdobrar uma potência num produto de potências

O exemplo será suficiente para perceber

Pela regra anterior ficou a saber que :

$2^3*2^3*2^1=2^7$

Agora é muito importante e útil que saiba fazer ao contrário, sempre que

precisar:

$2^7=2^3*2^3*2^1$

Isto é frequentemente utilizado em simplificação de radicais.

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Observação 6 → Expoentes "escondidos"

Quando temos o número 3 , parece que não se encontra sob a forma de potência.

Mas na realidade o que lá está é  $3^{1}$  .

E sempre que seja necessário, em cálculos, ter em conta a existência dele.

Observação 7 → Índices ( de radicais ) "escondidos"

Quando temos  $\sqrt{7}$   lemos " raiz quadrada de sete" .

Aparentemente não está lá nenhum índice 2.  

Mas está.  $\sqrt[2]{7}$

Observação  8 → Razão para expoentes e índices "escondidos" ?

Trata-se de um acordo entre os matemáticos para tornar mais simples a

escrita simbólica de expressões. E para a resolução de exercícios ser mais

breve.

$a) \sqrt{75}$

Primeiro decompor o radicando em fatores

75 | 3       75 = 3 * 5²

25 | 5

  5 | 5

   1

$\sqrt{75} =\sqrt{5^2*3} =5\sqrt{3}$

$b) \sqrt{700} =\sqrt{2^2*5^2*7} =\sqrt{2^2} *\sqrt{5^2} *\sqrt{7} =2*5*\sqrt{7} =10\sqrt{7}$  

700 | 2

350 | 2  

175 | 5

  35 | 5

     7 | 7

     1

 

$c) \sqrt{250}=\sqrt{2*5^3} =\sqrt{5^2*5*2} =\sqrt{5^2} *\sqrt{10} =5\sqrt{10}$  

250 | 2     250 = 2 * 5³

125 | 5

  25 |5

    5 | 5

    1

$d) \sqrt{256}=\sqrt{2^{8} } =\sqrt{2^2} *\sqrt{2^2} *\sqrt{2^2} *\sqrt{2^2} =2*2*2*2=16$

256 | 2    $256=2^8$

128  | 2

 64  | 2

  32 | 2

   16 | 2

    8  | 2

     4 | 2

     2 | 2

      1

$e) \sqrt{800} =\sqrt{2^5*5^2} =\sqrt{2^2} *\sqrt{2^2} *\sqrt{5^2} *\sqrt{2} =2*2*5*\sqrt{2} =20\sqrt{2}$

800 | 2      $800=2^5*5^2$

400 | 2

200| 2

 100| 2

  50 |2

  25 | 5

     5 | 5

      1

$f) \sqrt{2700}=\sqrt{2^2*5^2*3^3} =\sqrt{2^2}*\sqrt{5^2}*\sqrt{3^2} *\sqrt{3} =2*5*3*\sqrt{3} =30\sqrt{3}$

2700 | 2         2700 = 2² * 5² * 3³

1350 | 2    

  675 | 5

   135 | 5

     27 | 3

       9 | 3  

       3 | 3

       1

$g) \sqrt{375}=\sqrt{5^3*3} =\sqrt{5^2}*\sqrt{5} *\sqrt{3} =5\sqrt{15}$

375 | 3        375 = 3 * 5³

125 | 5

  25 | 5

    5 | 5

      1

$h) \sqrt{200}=\sqrt{2^3*5^2} =\sqrt{2^2} *\sqrt{5^2} *\sqrt{2} =2*5*\sqrt{2} =10\sqrt{2}$

200 | 2         200 = 2³ * 5²

100 | 2

  50 | 2

  25 | 5

     5 | 5

     1

Bons estudos.

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( * ) multiplicação