Question

A)4x^2-1=0
B) 9x^2+6x+1=0
C) x^2+8x+20=0

Answer 1

A) $4x^2 - 1 = 0$

$4x^2 = 1$

$x^2 = \frac{1}{4}$

$x = \frac{1}{\sqrt{4}}$

x = 0,5

ou

x = -0,5

B)$9x^2 + 6x + 1 = 0$

Aplicando Bhaskara:

$\Delta = 6^2-4*9*1$

$\Delta = 36-38$

$\Delta = 0$

$x = \frac{-6}{2*9} {{+} \atop {-}} \right \sqrt{0}$

$x = \frac{-6}{18}$

x = -1/3   (solução única)

C) $x^2+8x+20 = 0$

Por Bhaskara:

$\Delta = 8^2-4*1*20$

$\Delta = 64 - 80$

$\Delta = -16$

Não há Solução Real

Answer 2

Bom dia! Seguem as respostas com algumas explicações.

Resolução:

Observação: Na resolução, será considerado como conjunto universo o conjunto dos números reais, embora o exercício nada tenha indicado.

A)4x² - 1 = 0

(I)Determinação dos coeficientes por meio de comparação entre a equação fornecida e a forma genérica da equação do segundo grau:

4x²         -  1 = 0

ax² + bx + c = 0

Coeficientes: a = 4, b = 0, c = (-1)

-Neste caso, em razão de a equação estar incompleta (não há o coeficiente b), não há necessidade de calcular o discriminante e aplicar a fórmula de Bhaskara, bastando desenvolver a equação:

4x² -  1 = 0  (Passa-se o termo -1 ao segundo membro, alterando o seu sinal.)

4x² = 1 =>

x² = 1/4 =>

x = √(1/4) =>  x' = +1/2   (Porque 1/2.1/2=1/4.)

                    x'' = -1/2   (Porque (-1/2)(-1/2)=1/4.)

Resposta: V={x E R / x = -1/2 ou x = 1/2} (leia-se o "conjunto-verdade é x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é igual a -1/2 ou x é igual a 1/2") ou V={-1/2, 1/2}.

DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

-Substituindo x = -1/2 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:

4x² - 1 = 0 => 4.(-1/2)² - 1 = 0 =>

4.(1/4) - 1 = 0 => 1 - 1 = 0 => 0 = 0   (Provado que -1/2 é raiz da equação.)

-Substituindo x = 1/2 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:

4x² - 1 = 0 => 4.(1/2)² - 1 = 0 =>

4.(1/4) - 1 = 0 => 1 - 1 = 0 => 0 = 0   (Provado que 1/2 é raiz da equação.)

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B)9x² + 6x + 1 = 0

(I)Determinação dos coeficientes por meio de comparação entre a equação fornecida e a forma genérica da equação do segundo grau:

9x² + 6x + 1 = 0

ax² + bx + c = 0

Coeficientes: a = 9, b = 6, c = 1

(II)Cálculo do discriminante, utilizando-se dos coeficientes:

Δ = b² - 4 . a . c =>

Δ = (6)² - 4 . 9 . 1 =>

Δ = 36 - 4 . 9   (Aplicação da regra de sinais da multiplicação na parte destacada: dois sinais diferentes resultam sempre em sinal de negativo.)

Δ = 36 - 36 =>

Δ = 0

(III)Aplicação da fórmula de Bhaskara, utilizando-se dos coeficientes e do discriminante:

x = -b +- √Δ / 2 . a = -(6) +- √0 / 2 . 9 =>

x = -6 +- 0 / 18 =>

x' = -6 + 0 / 18 =  -6/18 (Dividem-se o numerador -6 e o denominador 18 por 6, que é o máximo divisor entre eles.)

x' = -6(:6)/18(:6) => x' = -1/3

x'' = -6 - 0 / 18 =  -6/18  (Dividem-se o numerador -6 e o denominador 18 por 6, que é o máximo divisor entre eles.)

x'' = -6(:6)/18(:6) => x'' = -1/3

Resposta: V={x E R / x = -1/3} (leia-se o "conjunto-verdade é x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é igual a -1/3") ou V={-1/3}.

DEMONSTRAÇÃO (PROVA REAL) DE QUE A RESPOSTA ESTÁ CORRETA

-Substituindo x = -1/3 na equação fornecida no exercício, verifica-se que a igualdade será mantida, confirmando-se que esta é uma das raízes da equação:

9x² + 6x + 1 = 0 => 9(-1/3)² + 6(-1/3) + 1 = 0 =>

9(1/9) -6/3 + 1 = 0 => 9/9 - 2 + 1 = 0 => 1 - 2 + 1 = 0 => 2 - 2 = 0 => 0 = 0   (Provado que -1/3 é raiz da equação.)

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C)x² + 8x + 20 = 0

(I)Determinação dos coeficientes por meio de comparação entre a equação fornecida e a forma genérica da equação do segundo grau:

1x² + 8x + 20 = 0

ax² + bx + c = 0

Coeficientes: a = 1, b = 8, c = 20

(II)Cálculo do discriminante, utilizando-se dos coeficientes:

Δ = b² - 4 . a . c =>

Δ = (8)² - 4 . 1 . 20 =>

Δ = 64 - 4 . 20   (Aplicação da regra de sinais da multiplicação na parte destacada: dois sinais diferentes resultam sempre em sinal de negativo.)

Δ = 64 - 80 =>

Δ = -16

Resposta: Em razão de o discriminante haver resultado em um valor menor que zero e uma vez que o conjunto universo considerado é o dos reais, não existe raiz real, pois esta se encontrará em um conjunto maior, o dos complexos (C). Logo, V=∅ (leia-se "o conjunto-verdade será igual a vazio") ou V={  } .

Espero haver lhe ajudado e bons estudos!