Question

A= ( 3 1 5 2 ) e I2= ( 1 0 0 1), calcule a matriz x tal que A.X=I2​

Answer 1

Resposta:

X =  $\left[\begin{array}{ccc}2&-1\\-5&3\\\end{array}\right]$

Explicação passo-a-passo:

Enunciado:

Sendo a matriz A= $\left[\begin{array}{ccc}3&1\\5&2\\\end{array}\right]$ e I2= $\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$ ,  calcule a matriz X tal que A*X=I2​.

Resolução:

X = $\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}a&b\\c&d\\\end{array}\right]$ * $\left[\begin{array}{ccc}3&1\\5&2\\\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}a*3+b*5&a*1+b*2\\c*3+d*5&c*1+d*2\\\end{array}\right]$ = $\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

Para que duas matrizes sejam iguais, as entradas correspondentes têm de ser iguais.

O que significa que vão ser criadas 4 equações com 4 incógnitas

"a" , "b", "c" , "d"

$a*3+b*5=1$

$a*1+b*2=0$    2ª equação ⇔   a = - 2b

$c*3+d*5=0$    3ª equação   ⇔3c = - 5d ⇔ c = ( -5d )/3

$c*1+d*2=1$

⇔

Os valores encontrados para "a" e para "c" vão ser substituídos na 1ª e 4ª

equações

$3*(-2b)+5b=1$

$a=-2b$

$c=-\frac{5d}{3}$

$-\frac{5d}{3} +2d=1$

Como a 4ª equação tem um termo fracionário, vou fazer com que todos os

termos tenham o mesmo denominador .

Só depois os posso retirar.

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Cálculos auxiliares

$\frac{2d}{1} =\frac{2d*3}{1*3} =\frac{6d}{3}$

$1 = \frac{1}{1} =\frac{1*3}{1*3} =\frac{3}{3}$

Fim dos cálculos auxiliares

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⇔

$-6b + 5b=1$

$a=-2b$

$c=-\frac{5d}{3}$

$-\frac{5d}{3} +\frac{6d}{3} =\frac{3}{3}$  

agora que tem os denominadores todos iguais , posso retirá-los

⇔

$-b=1$

$a=-2b$

$c=-\frac{5d}{3}$

$d=3$  

⇔

$b=-1$

$a=-2*(-1)$

$c=-\frac{5*3}{3}$

$d=3$

⇔

$a=2$

$b = -1$

$c=-5$

$d=3$

O que dá a matriz   X =  $\left[\begin{array}{ccc}2&-1\\-5&3\\\end{array}\right]$

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Verificação:

$\left[\begin{array}{ccc}2&-1\\-5&3\\\end{array}\right]$ * $\left[\begin{array}{ccc}3&1\\5&2\\\end{array}\right]$  = $\left[\begin{array}{ccc}2*3-1*5&2*1-1*2\\-5*3+3*5&-5*1+3*2\\\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}2&-1\\-5&3\\\end{array}\right]$ * $\left[\begin{array}{ccc}3&1\\5&2\\\end{array}\right]$  = $\left[\begin{array}{ccc}6-5&2-2\\-15+15&-5+6\\\end{array}\right]$

$\left[\begin{array}{ccc}2&-1\\-5&3\\\end{array}\right]$ * $\left[\begin{array}{ccc}3&1\\5&2\\\end{array}\right]$  = $\left[\begin{array}{ccc}1&0\\0&1\\\end{array}\right]$

Verificado e  correto.

Bom estudo.

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Sinais: ( * ) multiplicação     ( ⇔ ) equivalente a