Question

A 20°C, o comprimento de uma haste A é 99% do comprimento de outra haste B, à mesma temperatura. Os materiais das hastes A e B têm alto ponto de fusão e coeficientes de dilatação térmica linear respectivamente iguais a (alpha a)=10x10(coeficiente cinco negativo) °C(coeficiente um negativo) e (alpha b)=9, 1x10 (coeficiente cinco negativo) °C (coeficiente um negativo). Encontre a temperatura em que ambas barras tenham o mesmo comprimento.

Answer 1

Boa noite!!

Como temos que que $L_a_0 = 0,99.L_b_0$, o comprimento da haste A será o seu tamanho inicial ($L_a_0$) mais sua dilatação ($\Delta L$)

$\Rightarrow L_a = L_a_0 + \Delta L$

Substituindo o fato que$L_a = 0,99.L_b_0$ e que $\Delta L = 0,99L_b_0\times\alpha _a\times \Delta T$, temos:

$L_a = 0,99L_b_0 + 0,99L_b\times\alpha _a\times \Delta T \\\\L_a = 0,99L_b_0.(1 + \alpha _a \times \Delta T)$

A hasta B segue o mesmo princípio, então:

$L_b = L_b_0 + \Delta L \\\\\Rightarrow L_b = L_b_0 + L_b_0\times\alpha _b\times\Delta T\\\\\Rightarrow L_b = L_b_0.(1 + \alpha _b\times\Delta T)$

Igualando $L_a$ e $L_b$ temos:

$L_a = L_b \\\\0,99L_b _0.\!\!\!\!\!\!\!/ ~~(1 + \alpha _a\times\Delta T) =L_b_0.\!\!\!\!\!\!\!/ ~~(1 + \alpha _b\times\Delta T) \\\\0,99 + 0,99.\alpha _a\times\Delta T = 1 + \alpha _b\times\Delta T$

Substituindo os coeficientes de cada haste e isolando ΔT temos:

$0,99 + 0,99.10.10^{-5}.\Delta T = 1 + 9,1.10^{-5}.\Delta T \\\\1 - 0,99 = 9,9.10^{-5}.\Delta T - 9,1.10^{-5}.\Delta T \\\\0,01 = 0,8.10^{-5}.\Delta T \\\\\Rightarrow \Delta T = \frac{0,01}{0,8.10^{-5}} = 1250~ \º C$

Porém, pela fórmula $\Delta T = T_f - T_i$, temos:

$1250 = T_f - 20 \\\\\Rightarrow T_f = 1250 +20 = 1270~\ºC$

Bons estudos!