Question

A^1/2+A^(-1)/2=6
A=??

Answer 1

Se for $A^{1/2} + A^{-1/2} = 6$, faça $x = A^{1/2}$, assim teremos a equação $x + x^{-1} = 6$

resolvendo a equação:

$x+x^{-1}=6 \\ \\ x+ \frac{1}{x} = 6 \\ \\ \frac{x^2+1}{x} = 6 \\ \\ x^2+1 = 6x \\ \\ x^2-6x+1 = 0$

resolvendo a equação do 2º grau.

$\Delta = b^2-4.a.c = (-6)^2 - 4 . 1.1 = 36 - 4 = 32\\ \\ \\ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta} }{2a} \\ \\ x = \frac{-(-6) \pm \sqrt{32} }{2.1} = \frac{6 \pm 4\sqrt{2} }{2} = \frac{2(3 \pm 2\sqrt{2}) }{2} \\ \\ \\ x = 3 \pm 2\sqrt{2} .$

como $x = A^{1/2} = \sqrt{A}$, teremos:

$x = 3 \pm 2\sqrt{2}$ então $\\ \sqrt{A} = 3 \pm 2\sqrt{2}$

Logo, $(\sqrt{A} )^2 = (3 \pm 2\sqrt{2} )^2 \\ \\ A = 3^2 \pm 2.3.2\sqrt{2} + (2 \sqrt{2} )^2 \\ \\ A = 9 \pm 12\sqrt{2} + 4.2 \\ \\ A = 9 \pm 12\sqrt{2} + 8 \\ A = 17 \pm 12\sqrt{2}$

ou seja, $A = 17 +12\sqrt{2}$ ou $A = 17 - 12\sqrt{2}$