Question

9. (G1 - ifal 2018) Um triângulo equilátero e um hexágono regular estão inscritos na mesma circunferência. Qual a razão entre a área do triângulo equilátero e do hexágono regular?
a) 1
b) 1/2
c) 1/3
d) 2/3
e) 1/4
ME AJUDEM PRECISO DEMAIS​

Answer 1

 Na primeira imagem podemos ver o triângulo e o hexágono inscritos na circunferência.

 A área de um triângulo equilátero pode ser dada pela seguinte fórmula:

$\frac{x^2.\sqrt{3} }{4}$

 Onde x é um dos lados do triângulo. Logo, a área desse triângulo será

$\frac{x^2.\sqrt{3} }{4}$

 Na segunda imagem, podemos traçar uma bissetriz em um dos ângulos do triângulo para descobrir a medida do lado do hexágono ( y) utilizando a Tangente.

Tg 30º = y /x

√3 /3 = y /x

√3.x = 3.y

y = √3.x/3

 Ou seja, o lado do hexágono é √3/3 do lado do triângulo. Sabemos que o hexágono pode ser dividido em 6 triângulos equiláteros. Logo a área do hexágono será seis vezes a área de um triângulo equilátero de lado √3.x/3.

$\frac{6.(\frac{\sqrt{3}.x }{3}) ^2.\sqrt{3} }{4} \\\frac{6.\frac{3.x^2}{9}.\sqrt{3}  }{4} \\\frac{6.\frac{x^2}{3}.\sqrt{3}  }{4} \\\frac{2.x^2.\sqrt{3} }{4}\\\frac{x^2.\sqrt{3} }{2}$

 Agora basta tirar a razão entre as duas áreas:

$\frac{\frac{x^2.\sqrt{3} }{4}}{\frac{x^2.\sqrt{3} }{2}}\\\frac{x^2.\sqrt{3} }{4}.\frac{2}{x^2.\sqrt{3} }\\\frac{2}{4}\\\\\frac{1}{2}$

b) 1/2

Dúvidas só perguntar XD