Question

9. Encontre, se existir, o termo central no
desenvolvimento de (3x – 1/y)5

Answer 1

Queremos encontrar o termo central do seguinte binômio de grau 5:

$\left(3x-\dfrac{1}{y}\right)^5$

Para encontrar o termo central no desenvolvimento deste binômio devemos aplicar o binômio de Newton, em matemática, o binômio de Newton, também conhecido como teorema do binômio, é uma fórmula que permite calcular facilmente a potência de um binômio. Ou seja, o binômio de Newton consiste em uma fórmula com a qual expressões algébricas da forma (a+b)ⁿ podem ser resolvidas.

Como vimos na definição do binômio de Newton, este teorema é usado para resolver potências de binômios. Mas… como se aplica o binômio de Newton? Ou dito de outra forma, qual é a fórmula do binômio de Newton?

A fórmula matemática para o binômio de Newton é a seguinte:

$\displaystyle (a+b)^n=\sum^n _{k=0}\dbinom{n}{k}a^{n-k}y^k\\\\ \displaystyle (a+b)^n=\dbinom{n}{0}a^{n-0}y^0+\dbinom{n}{1}a^{n-1}b^1+\dbinom{n}{2}a^{n-2}b^2+\dots +\dbinom{n}{n}a^{n-n}b^n\\\\ \displaystyle (a+b)^n=\dbinom{n}{0}a^{n}+\dbinom{n}{1}a^{n-1}b^1+\dbinom{n}{2}a^{n-2}b^2+\dots +\dbinom{n}{n}b^n$

A fórmula é um pouco complexa para entender o conceito do binômio de Newton, então para obter o valor do termo central vamos usar a fórmula do termo geral, que seria a seguinte:

$T_{p+1}=\dbinom{n}{p}\cdot a^{n-p} \cdot b^{p}\\\\\\ que ~\'e~ simplificado ~como~ ~a ~seguinte ~express\~ao:\\\\T_{p}=\dbinom{n}{p-1}\cdot a^{n-(p-1)} \cdot b^{p-1}$

A fórmula do termo geral é uma pequena fórmula que vem do binômio de Newton, mas tem um objetivo diferente da fórmula do binômio de Newton, pois nos permite conhecer qualquer termo de qualquer binômio elevado a qualquer potência e o binômio de Newton tem o objetivo de saber qual é o desenvolvimento de um binômio.

No desenvolvimento do nosso binômio podemos ver os seguintes números que representam a potência "p": 0, 1, 2, 3, 4, 5. Como o número de termos é par, significa que não existe um termo central e se n fosse ímpar existe um termo central, portanto este binômio não possui um termo central.